三、典型的几种刚体的转动惯量
r2 r1
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
J 1mr2 2
圆筒转轴沿几何轴
J 12m(r12r22)
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
r
l
圆柱体转轴沿几何轴
J 1mr2 2
r
l 圆柱体转轴通过中 心与几何轴垂直
J mr2 ml2 4 12
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
解：细杆为线质量 分布，单位长度的 质量为：
m
l
ml
dm x
o xdx l
建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分 割质量元 dm ,长度为 dx ,
dm dx
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
J r2dm
l
l
J x2dm x2dx
0
0
x3 3
l 0
1 l3
3
m l
ml
dm x
1 3
ml
2
结果与前相同。
§4.刚体的转动惯量/ 四、平行轴定理
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
2r
2r
球体转轴沿直径
J 2mr2 5
球壳转轴沿直径
J 2mr2 3
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
四、平行轴定理
定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚 体质量与两轴间的距离平方的乘积。
JJCm2 d
J
JC
d Cm
§4.刚体的转动惯量/ 四、平行轴定理
例1：再以绕长为 l、质量为 m 的匀质细
杆，绕细杆一端轴转动为例，利用平行轴
定理计算转动惯量 J 。 J
解：绕细杆质心的
ml
JC
转动惯量为：
JC
1 ml2 12
o
C
l/2
绕杆的一端转动惯量为 JJCm2 d
J
112m2lm2l2
二.质量连续分布刚体的转动惯量计算
1.计算公式
J
n
miri2
i1
J r2dm
ri r
mi
dm
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例1：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量 为 2m 和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求： 质点系的转动惯量J。
解：由转动惯量的定义
2m m
J
2
miri2
o b 3b
i1
m 1 r 1 2m 2 r2 2
2m2b m(3b)2
11mb2
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例2：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕 与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
J r2dm
细杆为线质量分布，单位长
ml
dm x

度的质量为：
m
l
l
o xdx l
2
2
建立坐标系，坐标原点选在质心处。 分割质量元 dm ,长度为 dx ,
dm dx
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
J r2dm
l/2
l/2
J x2dm x2dx
l /2
l /2
x3 3
l/2 l /2
1 l3
12
m l
J 1 ml2 12
ml
dm x
l
o xdx l
2
2
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例3：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕 细杆一端轴转动，求转动惯量 J。
Ek
1mv2 2
n
miri2
相当于描写转动惯性的物理量
i1
转动惯量的定义：
J
n
miri2
i1
单位：千克·米2
§4.刚体的转动惯量/ 一、转动惯量
转动惯量
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？
①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。
第二节 转动惯量
一、转动惯量
刚体的动能等于各 质点动能之和。
mn m1
rn r1
r2 m2
Ek
12m1v12
1 2
m2v22
12mnvn2
n
i1
12mivi2
i n 1 1 2mi(ri)2
1 2(i n 1 miri2) 2
刚体的动能 Ek1 2(i n 1 miri2) 2
与平动动能比较
o xdx l
J 1ml2 3
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例4：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直 于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。
解： 分割质量元 dm
圆环上各质量元到 轴的距离相等，
M
J R2dm
0
M o R dm
R20M dmMR2
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算