矩阵的正定性及其应用
摘 要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义．在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例．
一、二次型有定性的概念
定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T =
(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0<AX X T ）成立，则称
AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）.
(2) 如果对任何非零向量X , 都有0≥AX X T （或0≤AX X T ）
成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.
注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.
二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.
二．矩阵正定性的一些判别方法
定理 1 设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵. 定理2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D =正定的充分必要条件是
),,2,1(0n i d i =>.
定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p =
定理5 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C , 使
C C A T =.即E A 与合同。
推论1 若A 为正定矩阵, 则0||>A .
定理6 秩为r 的n 元实二次型AX X f T =, 设其规范形为
2
2122221r p p z z z z z ---++++
则：
(1) f 负定的充分必要条件是,0=p 且.n r = (即负定二次型,其规范形为
2
2221n z z z f ----= )
(2) f 半正定的充分必要条件是.n r p <= (即半正定二次型的规范形为
n r z z z f r <+++=,22221 )
(3) f 半负定的充分必要条件是,0=p .n r < (即n r z z z f r <----=,22
2
21 ) (4)
f
不定的充分必要条件是
.
0n r p ≤<< (即
2
2122221r p p z z z z z f ---+++=+ )
定义2 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式
)1(2121
2221212111n i i i a a a a a a a a a k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k
k k k k k ≤<<<≤
称为A 的一个k 阶主子式.而子式
),,2,1(||21
2222111211
n k a a a a a a a a a A kk
k k k k k
==
称为A 的k 阶顺序主子式.
定理7 n 阶矩阵)(ij a A =为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有顺序主子式
),,2,1(0||n k A k =>.
注：(1) 若A 是负定矩阵，则A -为正定矩阵,。
(2) A 是负定矩阵的充要条件是：).,,2,1(,0||)1(n k A k k =>-
其中k A 是A 的k 阶顺序主子式.
(3) 对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:
a. 对称矩阵A 是半正定（半负定）的;
b. A 的所有主子式大于（小于）或等于零；
c. A 的全部特征值大于（小于）或等于零.
三、几个简单的例题：
例1 设M 是n 阶实对称矩阵, 则必存在正实数t, 使得tI+M 为正定阵，其中I 是单位矩阵。
证明：矩阵正定的充要条件:
对任意x 不等于0向量,有X'MX>0，X'(TI+M)X = TX'X+X'MX ，
在所有的X 中选一个X,使X'MX 的值最小,X'MX = -MAX,其中 MAX>0，而这时对应的X'X 的值为K,且K 肯定大于0，
又K,MAX 都是常数,则必存在常数T,使TK-MAX>0，即X'(TI+M)X=TX'X+X'MX>0 故TI + M 正定. 例 2 设二次型
3231212
3222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ
问λ取何值时, f 为正定二次型？ 解 f 的矩阵为
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4212411λλA
f 正定的充要条件是A 的顺序主子式全大于零. 事实上, A 的顺序主子式为：
011>=A
2
244
1
λλ
λ
-==
A
)
2)(1(484442
124
1
1
23+--=+--=--=λλλλλλA
于是, f 正定的充要条件是02>A 且03>A . 联解不等式组：
⎩⎨
⎧>+-->-0)2)(1(4042λλλ
可得12<<-λ.
当12<<-λ时, f 正定.
四． 实矩阵正定性的一个简单应用
在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决.
定义1 设n 元函数12()(,,
)n f X f x x x =在12(,,
,)T n n X x x x R =∈的某个邻域内
有一阶、二阶连续偏导数。
记12()()
()(),,
,
n f X f X f X f X x x x ⎛⎫
∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭
, ()f X ∇称为函数()f X 在点12(,,
,)T n X x x x =处的梯度.
定义3 满足0()0f X ∇=的点0X 称为函数()f X 的驻点.
定义4 2222112122
22
21
2
()()()()()()()()n i j n n
n n n
f X f X f X x x x x x f X H X x x f X f X f X x x x x x ⨯⎛⎫
∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪
⎛⎫
∂ ⎪==
⎪ ⎪∂∂ ⎪⎝⎭∂∂∂ ⎪
⎪∂∂∂∂∂⎝⎭
称为函数12()(,,)n f X f x x x =在点n X R ∈处的黑塞矩阵。
显然()H X 是由()
f X 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶实对称矩阵.
定理8(极值存在的必要条件) 设函数()f X 在点000012
(,,,)T
n X x x x =处存在一阶
偏导数，且0X 为该函数的极值点，则0()0f X ∇=.
定理9(极值的充分条件) 设函数()f X 在点0n X R ∈的某个邻域内具有一阶、二
阶连续偏导数，且00001
2()()
()(),,,
0n f X f X f X f X x x x ⎛⎫
∂∂∂∇==
⎪∂∂∂⎝⎭
则 : (1)当0()H X 为正定矩阵时，0()f X 为()f X 的极小值; (2)当0()H X 为负定矩阵时，0()f X 为()f X 的极大值; (3)当0()H X 为不定矩阵时，0()f X 不是()f X 的极值。
应注意的问题：
利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.
例3 求三元函数222(,,)23246f x y z x y z x y z =++++-的极值. 解 先求驻点，由
220440660x y z f x f y f z ⎧=+=⎪
=+=⎨⎪
=-=⎩ 得1,1,1x y z =-=-=
所以驻点为0(1,1,1)P --. 再求(Hessian)黑塞矩阵
因为2,0,0,4,0,6xx xy xz yy yz zz f f f f f f ======,
所以200040006H ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，可知H 是正定的，所以(,,)f x y z 在0(1,1,1)P --点取得极小值：(1,1,1)6f --=-.
当然，此题也可用初等方法222(,,)(1)2(1)3(1)6f x y z x y z =++++--求得极小值
6-，结果一样.。