指数型、对数型函数模型 的应用举例
指数函数模型、对数函数模型
函数模 型名称
指数函 数模型
对数函 数模型
表达形式 _f_(_x_)_=_a_b_x+_c_ _f_(_x_)_=_m_l_o_g_ax_+_n_
限制条件 a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1 m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1
类型 三 拟合模型 【典型例题】 1.(2013·厦门高一检测)今有一组数据如下：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
在以下四个模拟函数中，最适合这组数据的函数是( )
A.v=log2t
C.v= t2 1
2
B.v= log 1 t
2
D.v=2t-2
思考：解决实际应用问题的关键是什么?
提示:解决实际应用问题的关键是选择和建立恰当的函数模型.
【知识点拨】 1.建立函数模型应把握的三个关口 (1)事理关:通过阅读、理解,明白问题讲什么,熟悉实际背景,为 解题打开突破口. (2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用 数学式子表达数学关系. (3)数理关:在构建数学模型的过程中,利用已有的数学知识进 行检验,从而认定或构建相应的数学问题.
【解析】1.选A.2个细胞分裂一次成4个，分裂两次成8个，分 裂3次成16个，所以分裂x次后得到的细胞个数为y=2x+1.
2.(1)1年后该城市人口总数为 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)， 2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2， 3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)3， …… x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x(x∈N).
(3)求解：通过数学运算将数学模型中的未知量求出. (4)反馈：根据题意检验所求结果是否符合实际情况,并正确作 答.
类型 二 对数函数模型
【典型例题】
1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫
为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间
x(年)的关系为y=alog2(x+1)，若该动物在引入一年后的数量 为100只，则第7年它们发展到( )
(2)10年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7(万人).
(3)设x年后人口将达到120 万人，
即可得到100×(1+1.2%)x=120，
x
log1.012
120 100
log1.0121.2
lg1.2 lg1.012
15.28.
Hale Waihona Puke 所以大约16年后该城市人口总数达到120万人.
2.某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组 成有序数对(t,P)，点(t,P)落在如图中的两条线段上.
该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据
如下表：
第t天 Q(万股)
4 10 16 22 36 30 24 18
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P(元)与 时间t(天)所满足的函数关系. (2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)所满足的 一次函数关系.
A.300只
B.400只
C.600只
D.700只
2.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家
发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log2
q 10
(m/s)，其
中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为______.当
一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是______.
【解题探究】1.对于题1中的参数a应利用哪些数值来确定？ 2.借助已知对数值求解实际问题的关键是什么？ 探究提示： 1.可由该动物在引入一年后的数量为100只，即x=1，此时 y=100，代入y=alog2(x+1)中，可解得a. 2.借助已知对数值求解实际问题的关键是充分借助对数的运 算性质，把求解数值用已知对数值表示.
2.解决拟合函数模型的应用题的四个环节 (1)作图：根据已知数据，画出散点图. (2)选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数 具有类似的图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试. (3)求出函数模型：求出(2)中找到的几个函数模型的解析式. (4)检验：将(3)中求出的几个函数模型进行比较、验证，得出 最适合的函数模型.
【类题试解】某地区为响应上级号召，在2013年初，新建了 一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民 居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况， 估计今后廉价住房的年平均增长率只能达到5%. (1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y=f(x)的 解析式，并求此函数的定义域． (2)作出函数y=f(x)的图象，并结合图象求：经过多少年后， 该地区的廉价住房能达到300万平方米.
【解题探究】1.对于细胞分裂问题，一个细胞经过x次分裂后 得到的细胞个数一般怎样表示？若是n个细胞呢？ 2.解决连续增长问题应建立何种数学模型？ 探究提示： 1.由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，分 裂x次后得到的细胞个数为2x个，若是n个细胞，则细胞个数 为n·2x个. 2.对于连续增长的问题一般情况下可建立指数型函数模型 y=a(1+p)x.
(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数 学模型,则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散 点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模 型,问题即可顺利解决.
图表型应用问题 【典型例题】 1.某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多 了，中午时体温基本正常(大约37℃),但是下午他的体温又开 始上升，直到半夜才感觉不发烧了，下面能反映小鹏这一天 体温变化情况的图象大致是( )
【解析】1.选C.可将自变量的值取整数，代入备选答案，易 知C成立． 2.选D.因为指数函数的变化呈爆炸方式增长，所以一直跑下 去，最终在最前面的人具有的函数关系是f4(x)=2x，应选D.
【拓展提升】数据拟合问题的三种求解策略 (1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题 中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问 题即可获解. (2)列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表 格中的数据先列式,然后进行比较.
【解析】(1)经过1年后，廉价住房面积为 200＋200×5%＝200(1＋5%)； 经过2年后为200(1＋5%)2； …… 经过x年后，廉价住房面积为200(1+5%)x， ∴y=200(1+5%)x(x∈N*)．
(2)作函数y=f(x)=200(1+5%)x(x≥0)的图象，如图所示： 作直线y＝300，与函数y=200(1+5%)x(x≥0)的图象交于A点， 则A(x0,300)， A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值． 因为8＜x0＜9，则取x0＝9， 即经过9年后，该地区的廉价住房 能达到300万平方米．
【互动探究】题1中，若引入的此种特殊动物繁殖到500只以 上时，也将对生态环境造成危害，那么多少年时，必须采取 措施进行预防？ 【解析】500=100log2(x+1)，解得x=31.所以31年时，必 须采取措施进行预防.
【拓展提升】对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析 式，然后根据实际问题再求解. (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或 给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值 回答其实际意义.
【解析】1.选C.观察图象A，体温逐渐降低，不符合题意；图 象B不能反映他下午体温又开始上升；图象D不能反映他下午 体温又开始上升与直到半夜才感觉不发烧了.
2.(1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过点 (0,2),(20,6)，容易求得其方程为P= 1t+2；从20天到30天满
5
足递减的直线方程，且过点(20,6),(30,5)，求得方程为 P= 1 +t 8，所以每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函
…………………………
(1 k )5b2 2 8
1，
2(1
k 8
)
7b2
2，
4分
(2)当P=Q时，得216tx52
(11
2
1 2
x…) , ……………
6分
解得
t
1［1 6
22
2x
x
52
］
1［ 12
x…17…52……x 1
8分2］.
5
令
m
x
1∵x②≥,9,∴m∈(0,
5
］③,在1 t=
4
(17m 21-m-2)中，对
【解析】1.选A.将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)
得,100=alog2(1+1)，解得a=100，所以x=7时，
y=100log2(7+1)=300. 2.由题意，燕子静止时v=0，即5log21q0 =0，解得q=10；当 q=80时，v=5log18002 =15(m/s). 答案：10 15m/s
类型 一 指数函数模型
【典型例题】
1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分
裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个
数y为( )
A.y=2x+1
B.y=2x-1
C.y=2x
D.y=2x
2.某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为 1.2%.解答下面的问题： (1)写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系. (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人). (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年).