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高等数学第四章 不定积分教案

第四章 不定积分知识结构图: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧分部积分法第二换元积分法第一换元积分法直接积分法求不定积分基本公式性质几何意义定义不定积分原函数教学目的要求:1.理解原函数与不定积分的概念,理解两者的关系,理解不定积分与导数的关系;掌握不定积分的几何意义与基本性质。

2.理解与掌握积分的基本公式,掌握不定积分的基本运算,会熟练地用直接积分法、第一类换元积分法、第二换元积分法(代数换元)、分部积分法求不定积分。

3.了解不定积分在经济问题中的应用。

教学重点:1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质与基本积分公式 3.直接积分法 4.换元积分法 5.分部积分法 教学难点:1.不定积分的几何意义2.凑微分法、分部积分法求不定积分第一节 不定积分的概念与基本公式【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。

直接积分法求函数的不定积分。

【教学目的】理解原函数与不定积分的概念,理解不定积分的几何意义;理解并掌握不定积分的基本性质;熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。

【教学重点】1.原函的概念;2.不定积分的概念;3.不定积分的几何意义;4.不定积分的基本性质;5.不定积分的基本公式;6.直接积分法计算不定积分。

【教学难点】1.理解不定积分的几何意义;2.记忆不定积分公式。

【教学时数】2学时 【教学进程】一、原函数与不定积分的概念(一)原函数的概念前面我们所学的知识是:已知一个函数,求这个函数的导数;在现实生活中往往有:已知一个函数的导数,求原来这个函数的问题,如:①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为x k 2=,求此曲线的方程。

②已知某产品的边际成本MC ,要求该产品总成本的变化规律()C C q =. 1.原函数定义定义4.1 设)(x f 是定义在区间I 内的已知函数.如果存在可导函数)(x F ,使对于任意的I x ∈,都有)()(x f x F ='或dx x f x dF )()(=则称函数)(x F 是函数)(x f 的一个原函数。

例1 指出下列函数的原函数:①x x f cos )(= ②23)(x x f = ③xa x f =)( ④xx f 1)(=教师将举例分析:如(cos )sin x x '-=,则cos x -是sin x 在R 上的一个原函数。

2()2x x '=,则 2x 是2x 的一个原函数。

教师再问:(1)是否所有的函数都有原函数?什么样的函数才有原函数存在呢?在此,我们不作讨论.我们只给出一个重要的结论.结论:如果函数()f x 在某区间上连续,则其原函数一定存在 (2)25x +是不是2x 在R 上的一个原函数呢?学生回答:是(3)提出一个函数若存在原函数,则有几个呢?引入 2.原函数个数定理4.1 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数,则()F x C +也是()f x 的原函数,且()f x 的所有原函数都具有()F x C +的形式(C 为任意常数). (二)不定积分的概念教师指出:在以上的分析中我们看到一个函数()f x 有原函数存在,则有无数多个,它们都可以表示为()F x C +的形式,我们把它叫做()f x 的不定积分。

1.不定积分定义定义4.2 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数,则称()f x 的全体原函数()F x C +(C 为任意常数)为()f x 的不定积分,记作C x F dx x f +=⎰)()(其中⎰称为积分号,()f x 称为被积函数,()f x dx 称为积分表达式,x 称为积分变量,C 称为积分常数.例2 求下列函数的不定积分:①x x f 2)(= ②x e x f =)( ③xx f 1)(=2.不定积分几何意义提问:不定积分是否像导数那样具有某种几何意义呢?观察图4-1,根据不定积分的定义,具有这样的性质:结论:()F x C +表示的是一族曲线,其中任意一条曲线都可以由曲线()y F x =沿y 轴上、下平移得到.这积分曲线上横坐标相同的点处所作曲线的切线都是互相平行的(如图4-1所示)。

例3 已知某曲线上一点(-1,2),且过曲线上任意一点的 切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程课堂练习(一):求下列函数的一个原函数与不定积分:①3()4f x x = ②2()csc f x x = ③x x f 2)(=3.不定积分的性质提问:若对于任意的x I ∈,()()f x g x '=,那么()?f x dx '=⎰,[()]?f x dx '=⎰性质1(积分运算与微分运算互为逆运算)[()]()f x dx f x '=⎰ 或 [()]()d f x dx f x dx =⎰()()f x dx f x C '=+⎰ 或 ()()df x f x C =+⎰性质2 (不定积分的运算法则)两个函数代数和的不定积分,等于这两个函数不定积分的代数和,即[]⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()(推广:有限个函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和,即[]⎰⎰⎰⎰±⋅⋅⋅±±=±⋅⋅⋅±±dxx f dx x f dx x f dx x f x fx f n n )()()()()()(2121性质3 (不定积分的运算法则)被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即()()kf x dx k f x dx =⎰⎰ (0k ≠)4.不定积分的基本公式 设想:导数运算与积分运算是互为逆运算,那么我们是否可以通过导数基本公式得到相应的不定积分公式?结论是肯定的,师生配合,根据导数基本公式,以及例1、2和课堂练习(一)得如下不定积分公式:1.0dx C ⋅=⎰2. 111x dx x C ααα+=++⎰ (1)α≠- 3. 1ln dx x C x =+⎰ 4. 1ln xx a dx a C a=+⎰ x x e dx e C =+⎰ 5. sin cos xdx x C =-+⎰ 6. cos sin xdx x C =+⎰7. 2sec tan xdx x C =+⎰ 8. 2csc cot xdx x C =-+⎰9.arcsin x C =+ 10. 2arctan 1dxx C x=++⎰11. sec tan sec x xdx x C =+⎰12. csc cot csc x xdx x C =-+⎰利用基本积分表和不定积分的性质,可以直接计算一些简单的不定积分,或将被积函数经过适当的恒等变形,再利用积分的基本性质和基本积分公式求出结果,这样的积分方法,叫做直接积分法.例4 求221(35)1xx e dx x -++⎰解221(35)1x x e dx x -++⎰221351xx dx e dx dx x=-++⎰⎰⎰ 35arctan xx e x C =-++例5 求 (35sin )x xe x dx -⎰解 (35sin )35sin x x x xe x dx e dx xdx -=-⎰⎰⎰(3)5sin xe dx xdx =-⎰⎰(3)5cos ln(3)xe x C e =++例6 求21)dx x⎰解 21)1x dx dxx x -=⎰⎰12dx dx x =-+⎰⎰ln x x C =-+例7 求2211x dx x -+⎰解 2222212(1)12111x x dx dx dx dx x x x --+==-+++⎰⎰⎰⎰ 2arctan x x C =-+例8 求2tan xdx ⎰解 222tan (sec 1)sec xdx x dx xdx dx =-=-⎰⎰⎰⎰tan x x C =-+例9 求2cos2x dx ⎰解 21cos 11coscos 2222x x dx dx dx xdx +==+⎰⎰⎰⎰11sin 22x x C =++ 例10 求221sin cos dx x x⎰ 解 221sin cos dx x x ⎰2222sin cos sin cos x x dx x x +=⎰2211cos sin dx x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰ tan cot x x C =-+课堂练习(二):求下列不定积分①dx x x ⎰ ②⎰--dx xx x21③⎰+++dx x x x x )1(2222 ④dx x x292⋅⎰本堂课小结:主要内容:原函数、不定积分的概念;不定积分的性质与运算法则;直接积分法。

重点:不定积分性质与基本公式,直接积分法。

难点:经恒等变形后使用直接积分法计算不定积分。

第二节 换元积分法【教学内容】第一类换元积分法、第二类换元积分法求函数的不定积分。

【教学目的】理解第一类换元、第二类换元积分法的思想方法,熟练掌握第一换元积分法(凑微分法),知道常用第二换元积分计算不定积分的被积函数类型,掌握第二换元积分法步骤。

【教学重点】1.第一类换元积分法;2.第二类换元积分法。

【教学难点】1.积分方法的合理选取;2.凑微分法 【教学时数】3学时 【教学进程】导入新课:1. 不定积分与导数运算是互逆运算;2. 不定积分基本公式及其性质只能解决一些较简单函数的不定积分;3. 复习复合函数的导数法则,引入新课。

一、第一类换元积分法教师举例分析不定积分:⎰xdx 2cos 的计算过程,导入第一类换元积分法。

(一)第一类换元积分公式如果)()(),(x x u f ϕϕ'和都是连续函数,并且容易求得)(u f 的一个原函数)(u F ,则有如下公式:⎰⎰====')()]([)()]([x d x f dx x x f ϕϕϕϕ凑微分C )]([F )()()(+回代令x C u F du u f x u ϕϕ⎰==+==利用复合函数的求导法则,可以验证上式的正确性.用这种方法的计算程序是先“凑”微分式,再作变量置换,因此我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法,也称凑微分法.例1 求下列不定积分(第一小题写出中间变量,以后逐步脱离中间变量的设置)(1)⎰+1x dx (2)⎰+dx x 4)12((3)⎰dx 1(4)⎰+dx e x 12分。

课堂练习(一) ① 求⎰xdx 2sin ;除了用上述方法以外还可以怎样做呢? ② 若⎰+=c x dx x f sin )(, 求⎰=+dx b ax f )( 。

③⎰+12x dx例2 求下列不定积分 (1)⎰dx xe x 2(2)dx x ⎰2 (3)dx x x ⎰-23①⎰-dx x x 21 ②dx x x 52)1(⎰+ ③⎰dx xa x 2例3 求下列不定积分教学方法:指出这三个题分别是属于常见类型,为常见凑微分类型小结作准备 (1)⎰--dx xx 2323sin (2)⎰dx x x ln (3)dx xex⎰21(二)常用凑微分法公式的被积函数类型1. )()(1)(b ax d x ax f adx b ax f ++=+(0≠a ) 特别)()()(b x d b x f dx b x f ++=+2. )()(1)(1n n n n x d x f n dx x f x=- 3. )()(2)(1x d x f dx x f x= 4. )()()(x x x x e d e f dx e f e = 5. )(ln )(ln )(ln 1x d x f dx x f x= 6.)1()1()1(12x d x f dx x f x -= 7. )(cos )(cos )(cos sin x d x f dx x xf -= 或 )(sin )(sin )(sin cos x d x f dx x xf = 8. )(tan )(tan )(tan sec 2x d x f dx x xf = 或)(cot )(cot )(cot csc 2x d x f dx x xf -= 9.)(arcsin )(arcsin )(arcsin 112x d x f dx x f x=-或)(arccos )(arccos )(arccos 112x d x f dx x f x-=-10. )(arctan )(arctan )(arctan 112x d x f dx x f x =+或)cot ()cot ()cot (112x arc d x arc f dx x arc f x -=+例4 求下列不定积分 ⑴ ⎰+22a x dx ⑵ ⎰-22x a dx ⑶ ⎰--62x x dx例5 求下列不定积分-指出被积函数为三角函数时方法的选取 (1)⎰xdx tan - 解题后,指出其相关类型积分方法的选取;(2)⎰xdx 3cos - 解题后,指出相关类型积分方法的选取;(3)⎰x dxcos - 指出此题的多种解法课堂练习(三)①⎰++422x x dx② ⎰+)1ln 2(x x dx小结第一换元积分法,提出新的一种被积函数的类型-含有根号 如:⎰-dx x a 22如何计算呢?⎰-+12x dx 如何计算?给出其求解的一般方法(第二换元积分法)。

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