第3讲MATLAB数据建模方法(上)：常用方法作者：卓金武, MathWorks 中国以数据为基础而建立数学模型的方法称为数据建模方法，包括回归、统计、机器学习、深度学习、灰色预测、主成分分析、神经网络、时间序列分析等方法，其中最常用的方法还是回归方法。
本讲主要介绍在数学建模中常用几种回归方法的MATLAB实现过程。
根据回归方法中因变量的个数和回归函数的类型（线性或非线性）可将回归方法分为:一元线性、一元非线性、多元回归。
另外还有两种特殊的回归方式，一种在回归过程中可以调整变量数的回归方法，称为逐步回归，另一种是以指数结构函数作为回归模型的回归方法，称为Logistic回归。
本讲将逐一介绍这几个回归方法。
3.1 一元回归3.1.1 一元线性回归【例3-1】近10年来，某市社会商品零售总额与职工工资总额（单位：亿元）的数据见表3-1，请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。
表3-1 商品零售总额与职工工资总额回归方法建立他们之间的回归模型了，具体实现的MATLAB代码如下：（1）输入数据（2）采用最小二乘回归据的散点图，这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。
当发现它们的确近似在一条线上后，再用线性回归的方法进行回归，这样也更符合我们分析数据的一般思路。
图3-1 职工工资总额和商品零售总额关系趋势图（3）采用LinearModel.fit函数进行线性回归运行结果如下：（4）采用regress函数进行回归运行结果如下：只要根据自己的需要选用一种就可以了。
函数LinearModel.fit 输出的内容为典型的线性回归的参数。
关于regress ，其用法多样，MATLAB 帮助中关于regress 的用法，有以下几种：b = regress(y,X)[b,bint] = regress(y,X) [b,bint,r] = regress(y,X) [b,bint,r,rint] = regress(y,X)[b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X) [...] = regress(y,X,alpha) 输入y （因变量，列向量），X （1与自变量组成的矩阵）和（alpha ，是显著性水平, 缺省时默认0.05）。
输出01ˆˆ(,)b ββ=，bint 是01ββ，的置信区间，r 是残差（列向量），rint 是残差的置信区间，s 包含4个统计量：决定系数2R （相关系数为R ），F 值，F(1,n-2)分布大于F 值的概率p ，剩余方差2s 的值。
2s 也可由程序sum(r.^2)/(n-2)计算。
其意义和用法如下：2R 的值越接近1，变量的线性相关性越强，说明模型有效；如果满足1(1,2)F n F α--<，则认为变量y 与x 显著地有线性关系，其中1(1,2)F n α--的值可查F 分布表，或直接用MATLAB 命令finv(1-α,1, n-2)计算得到；如果p α<表示线性模型可用。
这三个值可以相互印证。
2s 的值主要用来比较模型是否有改进，其值越小说明模型精度越高。
3.1.2 一元非线性回归在一些实际问题中，变量间的关系并不都是线性的，此时就应该用非线性回归。
用用非线性回归首先要解决的问题是回归方程中的参数如何估计。
下面通过一个实例来说明如何利用非线性回归技术解决实例的问题。
【例3-2】 为了解百货商店销售额x 与流通率（这是反映商业活动的一个质量指标，指每元商品流转额所分摊的流通费用）y 之间的关系，收集了九个商店的有关数据（见表3-2）。
请建立它们关系的数学模型。
表3-2 销售额与流通费率数据925.5 2.2为了得到x与y之间的关系，先绘制出它们之间的散点图，如图3-2所示的“雪花”点图。
由该图可以判断它们之间的关系近似为对数关系或指数关系，为此可以利用这两种函数形式进行非线性拟合，具体实现步骤及每个步骤的结果如下：（1）输入数据（2）对数形式非线性回归运行结果如下：运行结果如下：在该案例中，选择两种函数形式进行非线性回归，从回归结果来看，对数形式的决定系数为0.973，而指数形式的为0.993，优于前者，所以可以认为指数形式的函数形式更符合y 与x之间的关系，这样就可以确定他们之间的函数关系形式了。
3.2 多元回归【例3-3】某科学基金会希望估计从事某研究的学者的年薪Y与他们的研究成果（论文、著作等）的质量指标X1、从事研究工作的时间X2、能成功获得资助的指标X3之间的关系，为此按一定的实验设计方法调查了24位研究学者，得到如表3-3所示的数据（i为学者序号），试建立Y 与123,,X X X 之间关系的数学模型，并得出有关结论和作统计分析。
表3-3 从事某种研究的学者的相关指标数据他们之间的变化趋势，如何近似满足线性关系，则可以执行利用多元线性回归方法对该问题进行回归。
具体步骤如下：（1）作出因变量Y 与各自变量的样本散点图作散点图的目的主要是观察因变量Y 与各自变量间是否有比较好的线性关系，以便选择恰当的数学模型形式。
图7-3分别为年薪Y 与成果质量指标1X 、研究工作时间2X 、获得资助的指标3X 之间的散点图。
从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边，因此，有比较好的线性关系，可以采用线性回归。
绘制图3-3的代码如下：Y 与x1的散点图 Y 与x2的散点图 Y 与x3的散点图图3-3 因变量Y 与各自变量的样本散点图（2）进行多元线性回归这里可以直接使用regress 函数执行多元线性回归，具体代码如下：运行后即得到结果如表3-4所示。
表3-4 对初步回归模型的计算结果计算结果包括回归系数b=(0123,,,ββββ)=(18.0157, 1.0817, 0.3212, 1.2835)、回归系数的303540455055303540455055303540455055置信区间，以及统计变量stats （它包含四个检验统计量：相关系数的平方2R ，假设检验统计量Ｆ，与F 对应的概率p ，2s 的值）。
因此我们得到初步的回归方程为：123ˆ18.0157 1.08170.3212 1.2835yx x x =+++由结果对模型的判断：回归系数置信区间不包含零点表示模型较好，残差在零点附近也表示模型较好，接着就是利用检验统计量Ｒ，Ｆ，p 的值判断该模型是否可用。
1）相关系数Ｒ的评价：本例Ｒ的绝对值为0.9542，表明线性相关性较强。
2）F 检验法：当1(,1)FF m n m α->--，即认为因变量y 与自变量12,,,m x x x 之间有显著的线性相关关系；否则认为因变量y 与自变量12,,,m x x x 之间线性相关关系不显著。
本例Ｆ＝67.919>10.05(3,20)F -= 3.10。
3）p 值检验：若p α<（α为预定显著水平），则说明因变量y 与自变量12,,,m x x x 之间显著地有线性相关关系。
本例输出结果，p<0.0001,显然满足P<α=0.05。
以上三种统计推断方法推断的结果是一致的，说明因变量y 与自变量之间显著地有线性相关关系，所得线性回归模型可用。
2s 当然越小越好，这主要在模型改进时作为参考。
3.3 逐步归回【例3-4】 （Hald,1960）Hald 数据是关于水泥生产的数据。
某种水泥在凝固时放出的热量Y （单位：卡/克）与水泥中4种化学成品所占的百分比有关：3213:O Al CaO X ⋅223:SiO CaO X ⋅323234:O Fe O Al CaO X ⋅⋅242:SiO CaO X ⋅在生产中测得12组数据，见表3-5，试建立Y 关于这些因子的“最优”回归方程。
表3-5 水泥生产的数据对于例3-4中的问题，可以使用多元线性回归、多元多项式回归，但也可以考虑使用逐步回归。
从逐步回归的原理来看，逐步回归是以上两种回归方法的结合，可以自动使得方程的因子设置最合理。
对于该问题，逐步回归的代码如下：程序执行后得到下列逐步回归的窗口，如图3-4所示。
图3-4 逐步回归操作界面在图3-4中，用蓝色行显示变量X1、X2、X3、X4均保留在模型中，窗口的右侧按钮上方提示：将变量X3剔除回归方程（Move X3 out），单击Next Step按钮，即进行下一步运算，将第3列数据对应的变量X3剔除回归方程。
单击Next Step按钮后，剔除的变量X3所对应的行用红色表示，同时又得到提示：将变量X4剔除回归方程（Move X4 out），单击Next Step按钮，这样一直重复操作，直到“Next Step”按钮变灰，表明逐步回归结束，此时得到的模型即为逐步回归最终的结果。
3.4 Logistic回归【例3-5】企业到金融商业机构贷款，金融商业机构需要对企业进行评估。
评估结果为0,1两种形式，0表示企业两年后破产，将拒绝贷款，而1表示企业2年后具备还款能力，可以贷款。
在表3-6中，已知前20家企业的三项评价指标值和评估结果，试建立模型对其他5家企业（企业21-25）进行评估。
表3-6 企业还款能力评价表对于该问题，很明显可以用Logistic模型来回归，具体求解程序如下：得到的回归结果与原始数据的比较如图3-5所示。
图3-5 回归结果与原始数据的比较图3.5 小结本讲主要介绍数学建模中常用的几种回归方法。
在使用回归方法的时候，首先可以判断自变量的个数，如果超过2个，则需要用到多元回归的方法，否则考虑用一元回归。
然后判断是线性还是非线性，这对于一元回归是比较容易的，而对于多元，往往是将其他变量保持不变，将多元转化为一元再去判断是线性还是非线性。
如果变量很多，而且复杂，则可以首先考虑多元线性回归，检验回归效果，也可以用逐步回归。
总之，用回归方法比较灵活，根据具体情景还是比较容易找到合适的方法的。
关于作者卓金武，MathWorks中国高级工程师，教育业务经理，在数据分析、数据挖掘、机器学习、数学建模、量化投资和优化等科学计算方面有多年工作经验，现主要负责MATLAB校园版业务；曾2次获全国大学生数学建模竞赛一等奖，1次获全国研究生数学建模竞赛一等奖；专著3部：《MATLAB在数学建模中的应用》、《大数据挖掘：系统方法与实例分析》、《量化投资：MATLAB数据挖掘技术与实践》。