§ 3.9 抽样信号的傅里叶变换
• 主要内容
•抽样、抽样信号的概念、提出及抽样方式 •时域抽样 •频域抽样
• 重点：矩形脉冲抽样和冲激抽样 • 难点：频域抽样
一、抽样、抽样信号的概念、提出及抽样方式
1.抽样
抽样：利用抽样脉冲序列p(t)从边续信号f(t) 中“抽取”一系列的离散样值的过程，称之。
2.抽样信号
抽样信号：经抽取后的一系列的离散信号称之。
请同学们注意区别：抽样信号与抽样函数 Sa(t)=sint/t是完全不同的两个含义。 抽样也称为“采样”或“取样”。
3.实现抽样的原理及框图
（1）原理
抽样原理：连续信号经抽样成抽样信号，再经量化、 编码变成数字信号。将这种数字信号经传输，进行 上述逆过程，就可恢复出原连续信号。
相乘。即：
fs (t) f (t) p(t)
p(t)是周期信号，其傅里叶变换

P(w) 2 Pn (w nws )
其中
n
1
Pn T
Ts
2 Ts
p(t)e jnwst dt
2
是p(t)的傅里叶级数的系数
根据频域卷积定理：
1
Fs (w) 2 F (w) * P(w)

E
Ts
Sa( nws
2
)
得到矩形抽样信号的频谱：
Fs ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱw)
E
Ts
Sa( nws
n
2
)F (w nws )
说明：矩形抽样在脉冲顶部不是平的，而是随 f(t)变化的，故称之“自然抽样”。
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2019/7/23
2.冲激抽样(理想抽样）
若抽样脉冲p(t)是冲激序列
1.矩形脉冲抽样(自然抽样）
２.冲激抽样（理想抽样）
1.矩形脉冲抽样(自然抽样）
抽样脉冲p(t)是矩形，它的脉冲幅度为E，脉宽 为，抽样角频率为s(抽样间隔为Ts)，
f (t)
F (w)
频谱
0
t
0
w
E p(t)
…
0 Ts
频谱 …
t
E P(w)
Ts
2

ws0 ws
w
频谱
相 乘
fs (t) f (t) p(t)
n
结论
不管矩形脉冲抽样或冲激抽样，其抽样后的信号 其频谱是离散周期的信号，其频谱的周期为：
ws

2
Ts
对于矩形脉冲抽样，其频谱的幅度随Sa函数变化。
对于冲激抽样，其频谱的幅度为常数。
冲激抽样是矩形脉冲抽样的一种极限情况。实际 抽样为矩形脉冲抽样。
三、频率抽样
设连续信号 f (t) FT F (w)
卷
积
Fs (w)

PnF (w nws )
n
1 Fs (w)
…
Ts
…
ws 0
ws
w
1
Pn T
Ts
2 Ts
2
p(t)e jnwst dt

1 T
Ts
2 Ts
2
T
(t )e
jnwst dt

1 Ts
得到冲激抽样信号的频谱：
1
Fs (w)

Ts
F (w nws )
5.抽样方式
抽样有两种方式： 1.时域抽样 ２.频域抽样
二、时域抽样
设连续信号 f (t) FT F (w)
抽样脉冲信号 p(t) FT P(w)
抽样后信号fs(t) fs (t) FT Fs (w)
若采用均匀抽样，抽样周期为Ts，抽样频率为
抽样过程：通过抽w样s 脉2冲序fs 列p2T(ts)与连续信号f(t)
若已知连续信号频谱 F (w) IFT f (t) 对 F (w) w (w) F1(w) 即在频域上抽样:
则抽样后的频谱:
F1 ( w)

F
(w)

w1
(w)
其中理想抽样信号为: w1(w) (w nw1)
n
w1 ( w)



n
(w
fs (t) 0
频谱
t
1
Fs (w) 2 F (w)* P(w)
卷

积 Fs (w) PnF (w nws )
E nFs (w)
Ts
2

ws0 ws
w
求得频谱包络幅度：
1
Pn T
Ts
2 Ts
2
p(t)e jnwst dt

1 T
Ts
2 Ts
2
Ee jnwst dt
频域抽样，时域周期延拓。
时域抽样，频域周期延拓。
抽样信号与周期信号的特性
抽样特性1：时域周期信号(T1) f (t) F
频域离散频谱(n1);
时域连续信号f (t) 抽样
时域抽样信号(Ts ) fs (t) F
频域重复频谱(s )
抽样特性2：时域周期信号(T1) f1(t) F 1

nw1)
IFT
1 w1
T
(t)
根据时域卷积定理
F1(w) IFT
f1(t)
1 f (t) *
w1

(t nT 1)
n

1 w1

f
n
(t

nT 1)
连续信号f (t)的频谱F ()抽样后对应的
信号f1 (t )等效于f
(t )以T1

2 1
周期重复
f (t)
F (w)
频谱
0
t
0
w
E p(t)
频谱
P(w) ws
…
…
Ts0 Ts 2Ts
t

p(t) T (t) (t nTs )
n
…
…
ws 0
ws
w
相 乘
fs (t) f (t) p(t)
频谱
fs (t) 0 Ts
频谱
t
求得频谱包络幅度：
1
Fs (w) 2 F (w) * P(w)
频域抽样频谱(1 )
F 时域连续信号f (t)
例3-12：
画出周期矩形信号经冲激抽样后的频谱。

化简 Fs (w) PnF (w nws ) n
结论：
信号时域抽样： （1）其频谱Fs(w)是连续信号频谱F(w)是原信号 频谱的周期延拓； （2）其周期为抽样频率ws， （3）其幅度被Pn加权。由于Pn仅是n的函数，所 以其形状不会发生变化。
可采用不同的抽样脉冲进行抽样，讨论两种典型 的抽样脉冲序列：
（2) 框图
连续信号 f(t)
抽样
抽样信号 fs(t)
数字信号 量化编码
抽样脉冲 p(t)
抽样过程方框图
4.抽样后，提出的问题
抽样后，有两个问题要解决：
1.抽样信号fs(t)的傅里叶变换？它和未经抽样 的原连续信号f(t)的傅里叶变换有什么联系？ （本节讨论的内容）
２.连续信号被抽样后，它是否保留了原信号 f(t)的全部信息？ 即 在什么条件下，可从抽样信号fs(t)中无失真地恢 复出原连续信号f(t)？（下节讨论）