第三章习题基础题3.1 证明cos t , cos(2)t , …, cos()nt (n 为正整数)，在区间(0,2)π的正交集。

它是否是完备集?解：(积分???)此含数集在(0,2)π为正交集。

又有sin()nt 不属于此含数集02sin()cos()0nt mt dt π=⎰，对于所有的m 和n 。

由完备正交函数定义所以此函数集不完备。

3.2 上题的含数集在(0,)π是否为正交集？解：由此可知此含数集在区间(0,)π内是正交的。

3.3实周期信号()f t 在区间(,)22T T-内的能量定义为222()TT E f t dt -=⎰。

如有和信号12()()f t f t +(1)若1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和;(2)若1()f t 与2()f t 不是相互正交的，求和信号的总能量。

解：(1)和信号f(t)的能量为[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2）由1()f t 与2()f t 在区间内正交可得2122()()0T T f t f t dt -=⎰则有 22221222()()T T T T E f t dt f t dt --=+⎰⎰即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。

和信号的能量为(2)[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2吧？）由1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内不正交可得2122()()0T T f t f t dt K -=≠⎰则有2222222212122222()()()()T T T T T T T T E f t dt f t dt K f t dt f t dt ----=++≠+⎰⎰⎰⎰即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。

3.4 求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T 。

（1）100j te（2） ]2/)3(cos[-t π（3）)4sin()2cos(t t + （4）cos(2)cos(3)cos(5)t t t πππ++（5）)4/sin()2/cos(t t ππ+ （6） )5/cos()3/cos()2/cos(t t t πππ++解：(1)角频率为Ω＝100rad s ，周期22100T s ππ==Ω (2)角频率为2rad s πΩ=，周期42T s π==(3)角频率为2rad s πΩ=，周期2T s ππ==Ω（先求T ，后求omg 吧？） (4)角频率为rad s πΩ=，周期22T s π==Ω(5)角频率为4rad s πΩ=，周期28T s π==Ω(6)角频率为30radsπΩ=，周期260T sπ==Ω3.5 用直接计算傅里叶系数的方法，求图示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。

解：(1)周期T=4,2TπΩ=2π=，则有1, 4k-1 t 4k+1f(t)=0, 4k+1 t 4k+3⎧⎨⎩（k是整数；怎么求的边界条件？）由此可得222()cos()()TTna f t n t d tT-=Ω⎰221()cos()22n tf t dtπ-=⎰111cos()22ntdtπ-=⎰2sin(),0,1,2,2nnnππ==22221()sin()()()sin()22TTnn tb f t n t d t f t dtπ--=Ω=⎰⎰111sin()0,1,2,22n tdtnπ-==⎰（X？）(2)周期T=2，2Tπππ==，则有sin(),221()0,2122t k t kf tk t kπ≤≤+⎧=⎨+<<+⎩由此可得：1121022111()()()sin()221,0,1,2,2(1)Tjn t jn t jn tTnnjn tF f t e d t f t e dt t e dtTennππ-Ω-Ω-Ω---Ω===+==±±-⎰⎰⎰（积分？3.6如图所示是4个周期相同的信号(1)用直接求傅里叶系数的方法求图（a ）所示信号的傅里叶级数（三角形式）； (2)将图（a ）的函数1()f t 左（或右）移，就得图（b ）的函数2()f t ，利用(1)的结果求2()f t 的傅里叶级数；(3)利用以上结果求图（c ）的函数3()f t 的傅里叶级数； (4)利用以上结果求图（d ）的信号4()f t 的傅里叶级数；解：(1)由1()f t 的波形可知12,2()0,2T t kT t kT T f t T kT t kT T ⎧≤≤+⎪⎪=⎨⎪+<<+⎪⎩ 令2T πΩ=，则有220212112121211222cos()sin()sin(),1,2,1cos()1cos()()cos()sin()4()()()()()2211cos()1cos()sin()4()T TT n n n n n n b n t dt t n t dt n T T T n n n f t n t n t n n T Tf t f t f t f t n n t n t n n πππππππππ-∞∞==∞∞===Ω=Ω=-=-=+Ω-Ω=+=--=+Ω-Ω⎰⎰∑∑∑∑2210222cos()()cos()T TT n a n t f t dt n t dtT T -=Ω=Ω⎰⎰2cos()1,1,2,()n n n ππ-==22102222sin()()sin()cos(),1,2,T T T n b n t f t dt t n t dtT T T n n n ππ-=Ω=Ω=-=⎰⎰则1()f t 的傅里叶级数为12111cos()1cos()()cos()sin()4()n n n n f t n t n t n n ππππ∞∞==-=+Ω-Ω∑∑(2)由2()f t 和1()f t 的波形图可知21()()2T f t f t =+或21()()2Tf t f t =- 则2()f t 的傅里叶数为21()()2Tf t f t =+2111cos()1cos()cos ()sin ()4()22n n n T n T n t n t n n ππππ∞∞==-⎡⎤⎡⎤=+Ω+-Ω+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ 2111cos()1cos()cos()sin()4()n n n n n t n n t n n n ππππππ∞∞==-=+Ω+-Ω+∑∑ 2111cos()1cos()cos()cos()cos()sin()4()n n n n n n t n n t n n ππππππ∞∞==-=+Ω-Ω∑∑21111cos()1cos()sin()4()n n n n t n t n n πππ∞∞==-=+-Ω--Ω∑∑(3)由3()f t 的波形可知32()()f t f t =-则3()f t 的傅里叶级数为32()()f t f t =-21111cos()1cos()sin()4()n n n n t n t n n πππ∞∞==-=+-Ω--Ω∑∑ 21111cos()1cos()sin()4()n n n n t n t n n πππ∞∞==-=+Ω+Ω∑∑(4)有4()f t 的波形可知423()()()f t f t f t =+则4()f t 的傅里叶级数为[]4232121cos()1()()()cos()2()n n f t f t f t n t n ππ∞=-=+=+Ω∑3.7试画出图示信号的奇分量和偶分量解：（1）由1()f t 的波形求得1()f t -的波形 则奇分量的波形为()od f t =11()()2f t f t --偶分量的波形为()ed f t =11()()2f t f t +-（2）由2()f t 的波形求得2()f t -的波形 则奇分量的波形为()od f t =11()()2f t f t --偶分量的波形为()ed f t =11()()2f t f t +-3.8利用奇偶性判断图示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。

解：（1） 由1()f t 的波形可知1()f t =1()f t -=1()2tf t -±则有 24()cos()t n a f t n t dt t =Ω⎰ ,0,1,2,n =…0n b =0242460a a a b b b ========……则1()f t 的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。

（2） 由2()f t 的波形可知 22()()f t f t =-- 则有 0n a =24()sin(),0,1,2,t n b f t n t dt n t =Ω=⎰…则2()f t 的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波。

（3） 由3()f t 的波形可知33()()f t f t =-则有 0n b =24()cos(),0,1,2,t n a f t n t dt n t =Ω=⎰…即3()f t 的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。

（4） 由4()f t 的波形可知，4()f t 为奇谐函数，即44()()2tf t f t =-±则有 0242460a a a b b b ========……即4()f t 的傅里叶级数中只含有奇次谐波，包括正弦波和余弦波。

3.9 如图的周期性方波电压作用于RL 电路，试求电流()i t 的前五次谐波。

解：由()s u t 的波形图可知周期22,1T Tππ=Ω==，则有 1,2222()30,2222{s k t k u t k t k ππππππππ-≤≤+=+≤≤+由此可得傅立叶级数的系数 222()cos()Tn s Ta u t n t dt T -=Ω⎰1()cos()su t nt dt πππ-=⎰221cos()nt dt πππ-=⎰ 221021,2,sin()2{n dt n n n πππππ-=====⎰时， a 0时，a n因()s u t 为偶数，则0,1,2,n b n ==则电路激励()s u t 的前五次谐波为5011222()cos(5)cos cos(3)cos(5)2235s n nau t a t t t t πππ==+=+-+∑ 由电路得系统微分方程为'()()()s i t i t u t +=欲求电流()i t 的前五次谐波，即求此微分方程激励的前五次谐波的特解。