6.1.1谐波小波的定义及正交性
当j 0，W()与V()在频域中总处于不同的频段，因而总有
说明处于不同层的谐波小波总是正交的 对于处于同层的谐波小波w(t)，w(t – k) , 其中(k 0, k Z)，
说明处于第零层的谐波小波也是正交的。对其它层，以上 结论可以类似得到 。
因此，w(t)及其伸缩平移函数族构成信号的正交基。以谐波小
西安交通大学机械工程学院研究生学位课程
现代信号处理技术及应用
第六章 连续小波变换及其工程应用
机械工程及自动化研究所
第六章 连续小波变换及其工程应用
6.1 谐波小波变换及其工程应用 6.2 Laplace小波特征波形相关滤波 6.3 Hermitian连续小波变换与信号奇异性识别
引言
小波分析中被广泛使用的Daubechies类小波与样 条小波都是实小波，它们没有明确的解析表达式， 对信号的小波分解是通过构造相应的正交滤波器系 数{hk}和{gk}运用Mallat快速算法实现的。 除了这两类小波，其它类型的小波基函数也被陆续 构造出来并且得到了深入研究和工程运用。 本章介绍三种在工程实际应用中取得了理想效果的 连续小波基函数，它们都具有明确的解析表达式。 这三种连续小波分别是谐波小波、Laplace小波和 Hermitian小波。
用求内积的方法计算小波展开系数运算量太大，是很不实用的。 因此谐波小波的提出者Newland给出了一种快速算法，可以 快速而精确地求得谐波小波分解，对谐波小波运用于工程实践 有很大好处。
6.1.2 Newland快速算法
Newland快速算法是通过信号的快速傅里叶变换FFT和快速 傅里叶逆变换IFFT实现。设有离散信号x (r)，r = 0,…, N – 1, 其中N = 2n，其谐波小波分解为as , s= 0,…, N – 1。令
波作为基函数系就可以将信号既不交迭，又无遗漏地分解到相 互独立的空间，实现将信号成分分解到不同频段 。
6.1.2 Newland快速算法
谐波小波构成了L2 ( R ( R ) 都可以表示为谐波小波的线性和，即
aj,k为函数x(t)的小波展开系数
由Parseval公式得到 ，谐波小波分解结果表明不同频率和 时间的谐波小波能量对整个信号能量贡献的大小
6.1.3 谐波小波时频图
下图为信号x (r) = sin(2×15tr)，( r = 0 , … , 511；tr = r / 320 )的波形及谐波小波分解时频图。该信号是单一频率的， 所以谐波小波分解只有一个层有值，在小波时频图上表现为 对应的层有峰值。
6.1.1谐波小波的定义及正交性
实偶函数we(t)和实奇函数wo(t) , 它们的傅里叶变换分别为
6.1.1谐波小波的定义及正交性
W()所对应的函数w (t) = we (t) + iwo (t)由W()的傅里叶逆 变换得
w (t)函数为谐波小波，它是复小波，在频域紧支，且具有完全 “盒形”的频谱。
6.1.1谐波小波的定义及正交性
根据小波理论对谐波小波进行伸缩、平移就生成谐波小波 函数族（j, kZ）：
设w (t)伸缩平移得到函数族为v(t)，即 其频谱为
随着小波层（即j）的变 大，谐波小波的频谱宽 度倍增而幅值降低
分析频宽从高频到低频是以1/2关系逐渐减小的，对信号的低 频部分划分比较细，而高频部分划分比较粗，这说明谐波小波 分解是一种小波分解
6.1 谐波小波变换及其工程应用
6.1.1谐波小波的定义及正交性 6.1.2 Newland快速算法 6.1.3 谐波小波时频图 6.1.4 谐波小波滤波 6.1.5 谐波小波应用
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算 谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述
6.1.1谐波小波的定义及正交性
Mallat算法分解时要隔二抽一，从而使得小波分解各层的 数据点数和采样频率随分解层次增加而逐渐减小。这样，直 接对运行转子垂直、水平方向振动信号进行小波分解，采用 同一尺度同一频段的分解数据合成轴心轨迹，将使轴心轨迹 不但不具有可比性，而且由于数据点数减少、采样频率降低 会使合成的轴心轨迹失真，这种直接合成轴心轨迹的方法是 不合适的。
谐波小波分解系数，低频频带内的数据点数少，高频频带内 的数据点数多。
6.1.4 谐波小波滤波
旋转机械状态监测与故障诊断利用机组同一截面两路相互垂 直振动信号的合成轴心轨迹来监测其运行状态和识别故障类 型。当设备出现故障时，信号表现出非平稳特性，而小波变 换对处理非平稳信号是非常有效的，我们可以用相互垂直的 X方向与Y方向的小波分解结果来合成轴心轨迹。
谐波小波滤波能够在低频频带和高频频带内都具有足够的数 据点数。
6.1.4 谐波小波滤波
谐波小波实际上是一个完全理想的带通滤波器 ，可以用下 面的方法定义谐波小波
其中m, n决定了谐波小波变换的尺度（j），且n = 2m， 当m = 0时，n = 1。
谐波小波的光滑性，“盒形”谱特性，零相移特性以及明 显的数学表达式，使得我们可构造出不同尺度下各频段序 列数据点数不变、采样频率不变的算法，最终成功应用于 转子轴心轨迹分析
as由Fs经分段、对每一段作IFFT得到，下两式为其表达式：
6.1.2 Newland快速算法
下图表示一数据长度为16的实序列的谐波小波分解示意图
6.1.3 谐波小波时频图
谐波小波分解结果一般用 小波时频图（Wavelet Time-Frequency Map）直 观表示。 在各网格以as模的平方为高 作柱体就构成了谐波小波 时频图。小波时频图是随 |as|2起伏的面。这里高度取 lg|as|2。
谐波小波(harmonic wavelet)是由剑桥大学D. E. Newland教授在1993年提出的。 谐波小波是一种复小波，在频域紧支，有明确的函 数表达式，其伸缩与平移构成了L2(R)空间的规范 正交基。 谐波小波小波具有完全“盒形”的频谱。 谐波小波分解算法是通过信号的快速傅里叶变换 （FFT）及其逆变换（IFFT）实现的，算法速度快， 精度高，因而具有很好的工程应用价值。