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二、连续小波变换
结论：
尺度因子a越小， a ,b
a ,b t 的频谱 的波形变窄，
向高频端扩展；a越大， 波形变宽， 的频谱 a ,b t 向低频端扩展，从而实现过了 a ,b 时间－频率窗的自适应调节。
连续小波变换的实质就是以基函数 a ,b 的形式把信 t
t b ) a
b R a R {0}
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二、连续小波变换
因此函数f(t)的小波变换为：
W f (a, b) f , a ,b a
1 2

R
f (t ) (
t b )dt a
平移参数
小波 尺度因子 式中 (t )为函数 (t )的复共轭，由可容性条件得：

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(6) 小波基表示发生的时间和频率
傅里叶变换 (Fourier)基 小波基 时间采样基
Fourier变换的基（上）小波变换基（中） 和时间采样基（下）
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二、连续小波变换
1. 连续小波变换
， 设函数
ˆ ( ) 2 (t ) L ( R)，如果满足： d
正变换 小波系数
n 1, , M .
w J [ wa J , wd J , , wd 1 ] j J , ,1
小波分解
反变换
wa J sn AJ n wd j sn D j n ,
J J
sn a J n d i n wa J AJ n wd j D j n
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（3）小波变换
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(4) 小波的时间和频率特性
时间A
时间B


运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率” 的变化。 时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾 名思义，小波在某时间发生的小的波动。 频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而 提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分。
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一、从傅里叶变换到小波变换
小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频 分析方法，我们可以先粗略地区分一下时域分析和 频域分析。 时域分析的基本目标： - 边缘检测和分割； - 将短时的物理现象作为一个瞬态过程分析。
频域分析的基本目标：
区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量。
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一、从傅里叶变换到小波变换
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（3）小波变换
小波分析优于傅里叶变换的地方是，它在时域 和频域同时具有良好的局部化性质。
小波变换提出了变化的时间窗。当需要精确的 低频信息时，采用长的时间窗，频率分辨率高，当 需要精确的高频信息时，采用短的时间窗，时间分 辨率高。
由此可知，小波变换采用的不是时间-频率域， 而是时间－尺度域。尺度越大，采用越大的时间窗， 尺度越小，采用越短的时间窗，即尺度与频率成反 比。

2
则称
(t )
ˆ ( ) 为一个基本小波和小波母函数，式中
1 2
为函数 (t ) 的傅立叶变换，上式也可称为可容性条件。
令： a ,b (t )
a (

称为基本小波或母小波(Mother Wavelet) (t ) 依赖于 a , b 生成的连续小波。式中 a为尺度因子，改变连续小波的形状； b 为位移因子，改变连续小波的位移。连续小波 a ,b (t ) 在时域空间和频域空间上都具有局部性，其作用等同于 短时傅立叶变换中的窗函数。
W f (a，b)


(t )dt 0
的逆变换为：
1 f (t ) c

R
dadb R W f (a，b) a,b (t ) a 2
ˆ ( ) C d 式中：

2
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二、连续小波变换
像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为将 母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波 变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一 系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶
2 kn j 1 N 1 IDFT : f n X k e N N k 0 j
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
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2. 傅立叶变换的实质
傅里叶变换的实质是：把f(t)这个波形分解成许多不同频率 的正弦波的叠加和。这样我们就可以将对原函数f(t)的研究 转化为对其权系数，及傅里叶变换F(ω)的研究。从傅里叶 变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及高次谐波组成 的，因此它在频域内是局部化的。
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（2）短时傅立叶变换
基本思想：把非稳态信号看成一系列短时平 稳信号的叠加，这个过程是通过加时间窗来实现 的。一般选用能量集中在低频处的实的偶函数作 为窗函数，通过平移窗函数来实现时间域的局部 化性质。其表达式为：
S , f t g* t e j t dt
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二、连续小波变换
傅 立 叶 变 换 过 程
信号
不同频率分量的组成
图5 信号傅立叶变换过程
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基本小波函数ψ()的缩放和平移操作含义如下： (1) 缩放。简单地讲， 缩放就是压缩或伸展基本小波， 缩 放系数越小， 则小波越窄，如图6所示。
f (t) f (t)＝ (t)； sca le＝ 1
第三步：向右移动小波，重复第一步和第二步，直至覆盖整
个信号，如图9所示。
第四步： 伸展小波， 重复第一步至第三步， 如图10所示。
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二、连续小波变换
原始 信号
小波 信号 C＝ 0 .0 1 02
图8 计算系数值C
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二、连续小波变换
原始 信号 小波 信号
图9 计算平移后系数值C
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3. 傅立叶变换的局限性 由左图我们看不出任何频域的性质，但从右图中 我们可以明显看出该信号的频率成分，也可以明显的 看出信号的频率特性。 虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特 征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不 能把两者有机的结合起来。 在实际信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的 处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。
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三、一维离散小波变换与重构
小波基D
原始信号
小波系数wd 小波基A 小波系数wa
正变换：原始信号在小波基上，获得 “小波系数”分量
反变换：所有“小波分解” 合成原始信号 例如： 小波分解 a=小波系数 wa × 小波基A
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三、一维离散小波变换与重构
离散小波变换公式

信号 s 有M个样本，J 级小波变换：
二、连续小波变换
原始信号 小波信号
C＝0 .2 24 7
图10 计算尺度后系数值C
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二、连续小波变换
第五步：对于所有缩放，重复第一步至第四步。
小波的缩放因子与信号频率之间的关系是：缩放因子
scale越小，表示小波越窄，度量的是信号的细节变化，表 示信号频率越高；缩放因子scale越大， 表示小波越宽，度 量的是信号的粗糙程度，表示信号频率越低。
(t)
(t－k )
O
t
O
t
(a)
(b)
图7 (a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
18
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CWT计算主要有如下五个步骤：
第一步： 取一个小波， 将其与原始信号的开始一节进行比 较。 第二步： C， C 表示小波与所取一节信号的相
似程度，计算结果取决于所选小波的形状， 如图8所示。
变换就是指双尺度小波变换。
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三、一维离散小波变换与重构
小波变换就是将 “ 原始信号 s ” 变换 成 “ 小波 系数 w ” ， w=[wa , wd] （ 近似系数wa与细节系数wd ) 则原始信号s可分解成小波近似a与小波细节d之和。 s = a+d 小波系数 w = [ wa , wd ] 的分量，乘以基函数，形成小波分 解： 小波近似系数wa ×基函数A=近似分解 a ---平均 小波细节系数wd ×基函数D=细节分解 d---变化

号f(t)分解为不同频带的子信号，实现信号在不同频 带、不同时刻的合理分离，也可以视为一个滤波器。
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一维连续小波变换Matlab实现

COEFS=cwt(S,SCALES,’wname’)


COEFS=cwt(S,SCALES,’wname’,’plot’)
COEFS=cwt(S,SCALES,’wname’,PLOTMODE) COEFS=cwt(S,SCALES,’wname’,PLOTMODE, XLIM)
j 1
其中：
, D j n AJ n 是小波基函数
j 1
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三、一维离散小波变换
执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器， 该方法
是 Mallat 于 1988 年提出的，称为 Mallat 算法。这种方法实 际上是一种信号分解的方法， 在数字信号处理中常称为双
通道子带编码。
用滤波器执行离散小波变换的概念如图 11 所示。 S 表 示原始的输入信号， 通过两个互补的滤波器组， 其中一 个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号的近似 值A （Approximations），另一个为高通滤波器， 通过 该滤波器可得到信号的细节值D（Detail）。
（1）傅立叶变换的定义 1. 连续傅立叶变换对 FT : F j f t e jt dt
1 IFT : f t 2



F j e jt d