小波变换提出了变化的时间窗。当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗， 频率分辨率高，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗，时间分辨率高。
由此可知，小波变换采用的不是时间-频率域，而是时间－尺度域。尺度越 大，采用越大的时间窗，尺度越小，采用越短的时间窗，即尺度与频率成反比。
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（3）小波变换
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二、连续小波变换
傅 立 叶 变 换 过 程 信号
不同频率分量的组成
图5 信号傅立叶变换过程
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基本小波函数ψ()的缩放和平移操作含义如下：
(1) 缩放。简单地讲， 缩放就是压缩或伸展基本小波， 缩放 系数越小， 则小波越窄，如图6所示。
f (t)
小
O
波 变
f (t)
换
O
过
程
f (t)
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三、一维离散小波变换
由图11可以看出离散小波变换可以表示成由低通滤波器 和高通滤波器组成的一棵树。原始信号经过一对互补的滤波 器组进行的分解称为一级分解，信号的分解过程也可以不断 进行下去，也就是说可以进行多级分解。如果对信号的高频 分量不再分解，而对低频分量进行连续分解，就可以得到信 号不同分辨率下的低频分量， 这也称为信号的多分辨率分 析。如此进行下去， 就会形成图12所示的一棵比较大的分 解树， 称其为信号的小波分解树（Wavelet Decomposition Tree）。实际中， 分解的级数取决于要分析的信号数据特征 及用户的具体需要。
j 1
j 1
其中： AJ n是,小D波j基n函数
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三、一维离散小波变换
执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器， 该方法 是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法。这种方法实际 上是一种信号分解的方法， 在数字信号处理中常称为双通 道子带编码。
用滤波器执行离散小波变换的概念如图11所示。S表示 原始的输入信号， 通过两个互补的滤波器组， 其中一个 滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号的近似值 A （Approximations），另一个为高通滤波器， 通过该滤 波器可得到信号的细节值D（Detail）。
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(5) 小波的3 个特点
• 小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的 时间。有利于分析确定时间发生的现象。（傅里叶变 换只具有频率分析的性质）
• 小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特 征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）
• 小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。信 号长度为M时， Fourier变换（左）和小波变换（右） 计算复杂性分别如下公式：
N 1
X
k 0
k
j 2 kn
eN
k 0,1,..., N 1
n 0,1,..., N 1
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2. 傅立叶变换的实质
傅里叶变换的实质是：把f(t)这个波形分解成许多不同频率 的正弦波的叠加和。这样我们就可以将对原函数f(t)的研究 转化为对其权系数，及傅里叶变换F(ω)的研究。从傅里叶 变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及高次谐波组成 的，因此它在频域内是局部化的。
a,b t
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一维连续小波变换Matlab实现
• COEFS=cwt(S,SCALES,’wname’) • COEFS=cwt(S,SCALES,’wname’,’plot’) • COEFS=cwt(S,SCALES,’wname’,PLOTMODE) • COEFS=cwt(S,SCALES,’wname’,PLOTMODE,XLIM)
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(6) 小波基表示发生的时间和频率
傅里叶变换 (Fourier)基
小波基
时间采样基
Fourier变换的基（上）小波变换基（中）
和时间采样基（下）
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二、连续小波变换
1. 连续小波变换
设函数， (t) L2 (R)，如果满足： ˆ ( ) 2 d
则称 (t) 为一个基本小波和小波母函数，式中 ˆ ()
图4表示了正弦波和小波的区别，由此可以看出，正弦
波从负无穷一直延续到正无穷，正弦波是平滑而且是可预测
的， 而小波是一类在有限区间内快速衰减到0的函数，其平
均值为0， 小波趋于不规则、不对称。
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二、连续小波变换
…
…
(a)
(b)
（a） 正弦波曲线； (b) 小波曲线 图4 傅立叶变换与小波变换基元
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三、一维离散小波变换与重构
在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数， 其计算量相当大， 将产生惊人的数据量，而且有许多数据 是无用的。如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j>0且为 整数）的倍数， 即只选择部分缩放因子和平移参数来进行 计算， 就会使分析的数据量大大减少。使用这样的缩放因 子和平移参数的小波变换称为双尺度小波变换 （Dyadic Wavelet Transform ） ， 它 是 离 散 小 波 变 换 （ Discrete Wavelet Transform， DWT）的一种形式。通常离散小波变 换就是指双尺度小波变换。
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3. 傅立叶变换的局限性
由左图我们看不出任何频域的性质，但从右图中我们可以明显看出该信号的频 率成分，也可以明显的看出信号的频率特性。
虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的 时域和频域观察，但不能把两者有机的结合起来。
在实际信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近 的频域特征都很重要。
W f (a，b) 的逆变换为：
f (t) 1
c R
W
R
f
(a，b)
a,b
(t)
dadb a2
式中：C
ˆ ( ) 2 d
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二、连续小波变换
像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为将 母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波 变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一 系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶 变换的结果。
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三、一维离散小波变换与重构
小波变换就是将 “ 原始信号 s ” 变换 成 “ 小波 系数 w ” ， w=[wa , wd] （ 近似系数wa与细节系数wd )
则原始信号s可分解成小波近似a与小波细节d之和。 s = a+d
小波系数 w = [ wa , wd ] 的分量，乘以基函数，形成小波分 解：
O
(t－k)
t
O
t
(a)
(b)
图7 (a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
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CWT计算主要有如下五个步骤：
第一步： 取一个小波， 将其与原始信号的开始一节进行比 较。
第二步：
C， C 表示小波与所取一节信号的相
似程度，计算结果取决于所选小波的形状， 如图8所示。
第三步：向右移动小波，重复第一步和第二步，直至覆盖整 个信号，如图9所示。
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二、连续小波变换
第五步：对于所有缩放，重复第一步至第四步。 小波的缩放因子与信号频率之间的关系是：缩放因子 scale越小，表示小波越窄，度量的是信号的细节变化，表 示信号频率越高；缩放因子scale越大， 表示小波越宽，度 量的是信号的粗糙程度，表示信号频率越低。
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二、连续小波变换
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（2）短时傅立叶变换
基本思想：把非稳态信号看成一系列短时平稳信号的叠加，这个过程是通 过加时间窗来实现的。一般选用能量集中在低频处的实的偶函数作为窗函数， 通过平移窗函数来实现时间域的局部化性质。其表达式为：
S , R f t g* t e jtdt
其中“＊”表示复共轭，g(t)是有紧支集的函数，
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三、一维离散小波变换
S
滤 波 器组
低通
高通
A
D
图11 小波分解示意图 第32页
三、一维离散小波变换
在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数， 表示信号的低频分量，而细节值是小的缩放因子计算的 系数，表示信号的高频分量。实际应用中，信号的低频 分量往往是最重要的，而高频分量只起一个修饰的作用。 如同一个人的声音一样， 把高频分量去掉后，听起来声 音会发生改变，但还能听出说的是什么内容，但如果把 低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。
小波变换在信号处理中的应用
一、从傅里叶变换到小波变换 二、连续小波变换 三、一维离散小波变换与重构 四、二维离散小波变换与重构 五、几种常用小波 六、举例（基于Matlab环境）
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一、从傅里叶变换到小波变换
小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频分析方法，我们可以先粗略 地区分一下时域分析和频域分析。 时域分析的基本目标： - 边缘检测和分割； - 将短时的物理现象作为一个瞬态过程分析。 频域分析的基本目标： 区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量。
第四步： 伸展小波， 重复第一步至第三步， 如图10所示。
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二、连续小波变换
原 始 信号 小 波 信号
C＝ 0.0 10 2
图8 计算系数值C
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二、连续小波变换
原 始 信号 小 波 信号
图9 计算平移后系数值C
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二、连续小波变换
原 始信 号 小 波信 号
C＝ 0.2 247
图10 计算尺度后系数值C
小波近似系数wa ×基函数A=近似分解 a ---平均 小波细节系数wd ×基函数D=细节分解 d---变化
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三、一维离散小波变换与重构
小波基D 小波系数wd
原始信号
小波基A
小波系数wa 正变换：原始信号在小波基上，获得 “小波系数”分量 反变换：所有“小波分解” 合成原始信号