第二章整合提升突破一匀变速直线运动的规律1．匀变速直线运动的常见方法匀变速直线运动问题的解题方法较多，常有一题多种解法的情况。

对于具体问题要具体分析，方法运用恰当能使解题步骤简化，起到事半规律特点基本公式匀变速直线运动的常用公式：(1)速度公式：v＝v0＋at(2)位移公式：x＝v0t＋12at2(3)速度—位移关系：v2－v20＝2ax平均速度法v－＝v t2＝12(v＋v0)巧用推论法Δx＝x n＋1－x n＝aT2在匀变速直线运动中，连续相等的时间T内的位移之差为恒量，即x n＋1－x n＝aT2，对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用Δx＝aT2求解2.(1)条件性：适用条件必须是物体做匀变速直线运动。

(2)矢量性：基本公式和平均速度公式都是矢量式。

(3)可逆性：由于物体运动条件的不同，解题时可进行逆向转换。

3．掌握计算位移的三个关系式，并注意比较(1)根据位移公式计算：x＝v0t＋12at2。

(2)根据位移与速度关系式计算：v2－v20＝2ax。

(3)根据平均速度公式计算：x＝v0＋v2t。

注意：公式v2－v20＝2ax是由匀变速运动的两个基本关系式推导出来的，不含时间，故不涉及时间时应用很方便。

【例1】物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度和末速度及加速度。

解析解法一：基本公式法如图所示：由位移公式得，x1＝v A T＋12aT2x2＝v A·2T＋12a(2T)2－(v A T＋12aT2) v C＝v A＋a·2T将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入以上三式，解得a＝2.5 m/s2，v A＝1 m/s，v C＝21 m/s。

解法二：用平均速度公式连续两段相等时间T内的平均速度分别为：v－1＝x1T＝244m/s＝6 m/s，v－2＝x2T＝644m/s＝16 m/s且v －1＝v A ＋v B 2，v －2＝v B ＋v C2，由于B 是A 、C 的中间时刻，则v B ＝v A ＋v C 2＝v －1＋v －22＝6＋162 m/s ＝11 m/s解得v A ＝1 m/s ，v C ＝21 m/s 其加速度为：a ＝v C －v A 2T ＝21－12×4m/s 2＝2.5 m/s 2解法三：用逐差法由Δx ＝aT 2可得a ＝Δx T 2＝64－2416 m/s 2＝2.5 m/s 2 又x 1＝v A T ＋12aT 2 v C ＝v A ＋a ·2T三式联立代入数据解得：v A ＝1 m/s ，v C ＝21 m/s 。

答案 1 m/s 21 m/s 2.5 m/s 2 突破二 自由落体运动的规律1．自由落体运动是匀变速直线运动在v 0＝0、a ＝g 时的一个特例，所以匀变速直线运动的基本公式以及推论都适用于自由落体运动。

2．匀变速直线运动与自由落体运动规律比较匀变速直线运动的一般规律自由落体运动规律速度公式 v ＝v 0＋at v ＝gt平均速度公式 v －＝v 0＋v2v －＝v 2 位移公式 x ＝v 0t ＋12at 2 h ＝12gt 2位移与速度的关系 v 2－v 20＝2axv 2＝2gh 推论 Δx ＝aT 2 Δx ＝gT 2【例2】 屋檐每隔一定时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m 的窗子的上、下沿，(g 取10 m/s 2)问：(1)此屋檐离地面多高？(2)滴水的时间间隔是多少？解析 如图甲所示，将这5滴水的运动等效为一滴水的自由落体运动，并且将这一滴水运动的全过程分成时间相等的4段，设每段时间间隔为T ，则这一滴水在0时刻、T 末、2T 末、3T 末、4T 末所处的位置，分别对应图示第5滴水、第4滴水、第3滴水、第2滴水、第1滴水所处的位置，据此可作出解答。

设屋檐离地面高为x ，滴水的时间间隔为T 。

由x ＝12gt 2得第2滴水的位移x 2＝12g (3T )2①第3滴水的位移x 3＝12g (2T )2② 又因为x 2－x 3＝1 m ③所以联立①②③，解得T ＝0.2 s 屋檐高x ＝12g (4T )2＝12×10×(4×0.2)2 m ＝3.2 m 。

突破三 运动图象的理解和应用x －t 图象(如图1甲所示)和v －t 图象(如图乙所示)的比较图1x －t 图象v －t 图象① 表示物体做匀速直线运动，斜率(图线的倾斜程度)表示速度表示物体做匀加速直线运动，斜率(图线的倾斜程度)表示速度变化率，即加速度② 表示物体静止 表示物体做匀速直线运动③ 表示物体静止 表示物体静止④ 表示物体自x 0位置向负方向做匀速直线运动 表示物体以v 0的初速度向正方向做匀减速直线运动⑤ 交点的纵坐标表示三个物体此时刻相遇交点的纵坐标表示三个物体此时刻的速度相同⑥ t 1时刻物体的位移为x 1t 1时刻物体的速度为v 1⑦与④平行，表示速度与④相同与④平行，表示速度变化快慢与④相同，即加速度与④相同【例3】 如图2所示为物体做直线运动的v －t 图象。

若将该物体的运动过程用x －t 图象表示出来(其中x 为物体相对出发点的位移)，则图中描述正确的是( )图2解析 0～t 1时间内物体做正向匀速直线运动，A 错误；t 1～t 2时间内，物体静止，且此时离出发点有一定距离，B 、D 错误；t 2～t 3时间内，物体反向运动，且速度大小不变，即x －t 图象中，0－t 1和t 2～t 3两段时间内，图线斜率的绝对值相等，C 正确。

答案 C[技巧点拨] 由于图象更能直观地表示出物理过程和各物理量之间的关系，因而在解题时被广泛应用。

解此类题时要抓住x －t 图象和v －t 图象的特征，并且深刻理解各线段所代表的实际运动情况。

另外在v －t 图象中，用图线与时间轴所围面积来求解物体的位移，是一种快捷简便的方法。

易错一 对匀减速刹车问题，盲目套用公式计算错误【例1】 一辆汽车以72 km/h 的速度正在平直公路上匀速行驶，突然发现前方40 m 处有需要紧急停车的危险信号，司机立即采取刹车措施。

已知该车在刹车过程中加速度的大小为5 m/s 2，则从刹车开始经过5 s 时汽车前进的距离是多少？此时是否已经进入危险区域？ 错解：37.5 m 未进入危险区域错因分析 已知汽车的初速度v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，加速度a ＝－5 m/s 2，误认为运动时间为t ＝5 s ，从而套用公式x ＝v 0t ＋12at 2，代入数据得x ＝(20×5－12×5×52) m ＝37.5 m<40 m ，进而判断汽车未进入危险区域。

正解：40 m 未进入危险区域正确解析 设汽车由刹车开始至停止运动所用的时间为t 0，选初速度方向为正方向，由于汽车做匀减速直线运动，加速度a ＝－5 m/s 2，则由v ＝v 0＋at 0得t 0＝v －v 0a＝4 s可见，该汽车刹车后经过4 s 就已停下，其后的时间内汽车是静止的。

由运动学公式知，刹车后经过5 s 汽车通过的距离为x ＝v 0t 0＋12at 20＝40 m即汽车此时恰好到达危险区域边缘，未进入危险区域。

误区警示 对实际中的运动问题，一定要具体问题具体分析。

像匀减速直线运动问题，一定要注意是否有反向运动的可能性，本题中汽车紧急刹车，速度减为零后即保持静止状态，并不存在反向运动。

经分析可知，汽车停止的时间是4 s ，题目讨论的时间已经超过了停止时间，这是命题者设置的陷阱，要特别引起重视，避免出错。

易错二 对两个先后下落的物体运动关系分析不清【例2】 甲、乙两球从同一高度相隔1秒先后自由落下，在做自由落体运动的过程中( ) A ．两球的距离始终不变 B ．两球的距离越来越小 C ．两球的速度差始终不变 D ．两球的速度差越来越大 错解：A 或D错因分析 错选A 项的同学认为两球均做自由落体运动。

运动状态相同，距离不变；实际上先下落的小球的速度始终大于后下落的小球的速度。

错选D 项的同学只考虑到先下落的小球的速度大于后下落的小球的速度，认为两球的速度差越来越大。

正解 C正确解析 自由落体运动问题的求解有多种方法，这其中包括灵活选取参考系法，比如选另一个也做自由落体运动的物体做参考系，则两球的运动均为匀速直线运动，故两球的速度差Δv 不变，两球的距离Δx ＝Δv ·t 越来越大。

对于本题，若选用常规解法，则由h ＝12gt 2得h 甲＝12gt 2，h 乙＝12g (t －1)2，Δh ＝h 甲－h 1＝12gt 2－12g (t －1)2＝gt －12g ，故两球的距离在下落过程中越来越大，A 、B 均错；由v ＝gt 得v 甲＝gt ，v 乙＝g (t －1)，则Δv ＝v 甲－v 乙＝gt －g (t －1)＝g ，故两球的速度差始终不变，C 对，D 错。

易错三 将打点纸带上的记时点与计数点相混淆【例3】 如图3中给出了某次实验所打的纸带，从0点开始，每间隔4个点取一个计数点，其中0、1、2、3、4、5、6都为计数点，测得x 1＝1.40 cm ，x 2＝1.90 cm ，x 3＝2.38 cm ，x 4＝2.88 cm ，x 5＝3.39 cm ，x 6＝3.87 cm 。

(电源频率为50 Hz)图3计时器打1、2、3、4、5点时，小车的速度分别为：v 1＝________ cm/s ，v 2＝________ cm/s ，v 3＝________ cm/s ，v 4＝________ cm/s ，v 5＝________ cm/s 。

错解：将T ＝0.02 s 代入而致错，也有错取T ＝0.08 s 的。

错因分析：忽视了题目所说每间隔4个点取一个计数点，时间间隔应为0.02 s ×5＝0.10 s 。

正确解析：相邻计数点间的时间为T ＝0.1 s ，应用v n ＝x n ＋x n ＋12T ，求计数点1、2、3、4、5对应的速度分别为：v 1＝16.50 cm/s ，v 2＝21.40 m/s ，v 3＝26.30 cm/s ，v 4＝31.35 cm/s ，v 5＝36.30 cm/s 。

误区警示 打点计时器打下的原始记时点与计数点不同，通常每几个记时点取一个计数点，则两相邻计数点间的时间间隔Δt ＝0.02N s ，而不是0.02 s 。

取T ＝0.08 s ，是因为没有正确理解从A 点起每间隔4个点取一个计数点的含义，这里应有5个时间间隔。