目录第七章数列 (2)第一节等差数列 (2)题型73、等差数列基本运算 (2)题型74、等差数列判定与证明 (3)题型75、等差数列性质及结论的应用 (4)题型76、等差数列前n项和的最值 (5)第二节等比数列 (6)题型77、等比数列基本运算 (6)题型78、等比数列的判定与证明 (6)题型79、等比数列的性质和结论 (8)第三节数列的通项公式和前n项和公式 (9)题型80、数列求通向公式 (9)80.1、累加法： (9)80.2、累乘法： (10)80.3、待定系数法： (11)80.4、对数变换法： (16)80.5、倒数变换法： (17)80.6、阶差法（逐项相减法）： (17)题型81、数列求前n项和 (20)81.1、利用常用求和公式求和 (20)81.2、错位相减法求和 (21)81.3、分组法求和 (22)81.4、裂项法求和 (23)81.5、反序相加法求和 (25)81.6、分段求和 (26)第六章 数列第一节 等差数列题型73、等差数列基本运算❖ 知识点摘要：➢ 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． ➢ 等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． ➢ 等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．➢ 等差中项的推论：在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)． ➢ 前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2.➢ 等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系1. 集合当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．2. 公差不为0时，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0. ❖ 典型例题精讲精练：1. (2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )BA ．－12B ．－10C ．10D ．122. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( )D A ．3 B ．7 C ．9 D ．103. (2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )BA ．1B ．2C ．3D ．44. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )D A ．420 B ．340 C ．－420 D ．－3405. 在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( )C A ．12 B ．18 C ．24 D ．30题型74、等差数列判定与证明❖ 知识点摘要：➢ 定义法：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．（证明最常用，判定也常用） ➢ 通项公式法：（常用来判定） ➢ 等差中项法：➢ 前n 项和公式法：（常用来判定） ❖ 典型例题精讲精练：1. 已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．【答案：】（2）所以a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.2. (2019·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )BA ．13B ．49C ．35D ．633. 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．题型75、等差数列性质及结论的应用❖ 知识点摘要：已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和，则：➢ 等间距抽取：⋯++m k m k k a a a 2，，仍是等差数列，公差为m d (k ，m ∈N *)． ➢ 等长度截取：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . ➢ 算数平均值：若{a n }是等差数列，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也成等差数列，公差为2d 。

➢ 若项数为偶数2n ，则：)()(1212++=+=n n n n a a n a a n S ，n na S =奇，1+=n na S 偶， nd S S =-奇偶，1+=n n a aS S 偶奇。

➢ 若项数为奇数2n －1，则：n n a n S )12(12-=-，n na S =奇，n a n S )1(-=偶， n a S S =-偶奇，1-=n nS S 偶奇。

➢ 若{a n }与{b n }为等差数列，且前n 项和分别为S n 和T n ，则：1212--=m m m m T S b a 。

❖ 典型例题精讲精练：1. 已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则)222(log 10212a aa⋅⋯⋅⋅＝( )BA ．10B ．20C ．40D ．2＋log 252. (2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )AA ．2B ．3C ．4D ．63. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )BA ．63B ．45C ．36D ．274. 在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( )B A ．－12 B ．－13 C ．12 D ．135. (2019·广东中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )DA ．－45B ．－50C ．－55D ．－66题型76、等差数列前n项和的最值❖知识点摘要：➢求等差数列前n项和S n最值的2种方法函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式S n＝An2＋Bn，借助二次函数最值的方法求解．邻项变号法：利用等差数列通项公式a n=kn+b，借助一次函数的图像的零点求解。

➢等差数列{a n}中，若a n=m，a m=n（m≠n），则a m+n=0。

➢等差数列{a n}中，若S n=m，S m=n（m≠n），则S m+n=-(m+n)。

➢等差数列{a n}中，若S n=S m（m≠n），则S m+n=0。

❖典型例题精讲精练：1.在等差数列{a n}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{a n}的前n项和S n的最大值为()AA．S15B．S16 C．S15或S16D．S172.在等差数列{a n}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝()BA．－12 B．－13 C．12 D．133.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足S n>0的最大自然数n的值为()CA．6 B．7 C．12 D．134.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n＝324(n＞6)，则数列{a n}的项数为________．185.(2019·山西五校联考)在数列{a n}中，a n＝28－5n，S n为数列{a n}的前n项和，当S n最大时，n＝()CA．2 B．3 C．5 D．66.(2018·全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．【答案】a n＝2n－9;当n＝4时，S n取得最小值，最小值为－16.第二节 等比数列题型77、等比数列基本运算❖ 知识点摘要：➢ 等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. ➢ 等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n-1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.❖ 典型例题精讲精练：1. (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 【答案】a n ＝2n －1；m ＝6.2. 已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )BA ．2B ．4 C. 2D ．223. (2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )CA ．4B ．10C ．16D ．32 4. (2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝___.32题型78、等比数列的判定与证明❖ 知识点摘要：➢ 定义法：a n ＋1a n ＝q ；（可以用来证明和判定）➢ 等比中项法：（证明、判定） ➢ 通项公式法：（判定） ➢ 前n 项和公式法：（判定）❖ 典型例题精讲精练：1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．2. 数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n ，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列．3. (2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式；a n =n ＋1. (2)求证：数列{b n }是等比数列．题型79、等比数列的性质和结论❖ 知识点摘要：➢ 设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n-m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .❖ 典型例题精讲精练：1. (2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )BA ．－2＋22B ．－2C. 2D ．－ 2 或 22. (2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )AA ．2B ．4C ．8D ．163. 各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )BA ．80B ．30C ．26D ．164. (2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{a n }中，a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，则a 1＝( )BA.12 B ．－12C ．－29D ．－195. 已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝____.2第三节 数列的通项公式和前n 项和公式题型80、数列求通向公式❖ 典型例题精讲精练：80.1、累加法 ：➢ 适用于：)(1n f a a n n +=+， 这是广义的等差数列，累加法是最基本的二个方法之一。