三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用
阿波罗尼斯定理 三角形两边平方的和,等于所夹中线及第三边之半的平方
和的2倍.

具体地说,就是:设AD是△ABC的中线,则)(22222BDADACAB.
证明 如图1,作BC边上的高AH.
由勾股定理,得
222
DHAHAD

,222BHAHAB,

222
CHAHAC
.

所以222222CHBHAHACAB.
由CDBD,可得
)(2)()(222222DHBDDHBDDHBDCHBH
.

所以)(2)(22222222BDADBDDHAHACAB.
该定理应用广泛,不但可以用来计算三角形中线的长度,而且对于多线段的平
方和问题,尝试构造三角形的中线后运用它往往也能凑效.下面举例说明此定理的
应用.
1.直接使用
当题设条件中出现三角形的中线时,可考虑使用阿波罗尼斯定理建立相关线
段的联系,以助解题.
例1 AD、BE、CF是△ABC的三条中线.若aBC,bCA,cAB,则

222CFBEAD
______.
(2005年山东省初中数学竞赛)
分析 AD、BE、CF是△ABC的三条中线,故可直接使用三角形中线的阿波
罗尼斯定理进行计算.
解 如图2, AD是BC边上的中线,由阿波罗尼斯定理得





2222412BCADACAB
.

代入已知数据,变形得2222412121abcAD.
同理
2222412121bacBE,2222
41212

1

cbaCF
.

故22222243cbaCFBEAD.
例2 如图3,△ABC的内切圆⊙O与边CA上的中线BM交于点G、H,并且
点G在点B和点H之间.已知HMBG,2AB,2BC.那么,当BC、CA为何值

D
CBEA
图2

F

HABCD
图1
时,线段GH的长达到最大值?并求GH的最大值.
解 如图3,设⊙O与边BC、CA、AB分别切
于点D、E、F.
由切线长定理,得

ACBCABACAFAE21)(21
.
由切割线定理得
BFGHBGBGGHHMHMEM)()(
.
所以2ABAM,42AMAC.
设aBC2,则aBCABACAFAE3)(21.
因此1aBFEM.
设xGH,yHMBG.则2)1()(axyy. ①

由阿波罗尼斯定理,得)41(22222ACBMBCAB,代入数据并变形,得
22)]([22axyy
. ②
由式①、②,解得2)2(22ax,其中,24224a,即31a.
因此,当2a时,x达到最大值2,即当4BCAC时,线段GH的长达到最
大值2.
2.构造三角形的中线后使用定理
有些平面几何题,虽然题设条件中没有直接出现三角形的中线,但根据一些条
件可先构造三角形的中线,然后再利用阿波罗尼斯定理求解.
例3 如图4,正方形ABCD、正方形CGEF的边长分别是2、3,且点B、C、
G在同一直线上,M是线段AE的中点,连接MF.则MF
的长为______.
(2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛)
分析 要求MF的长,注意到点M是线段AE的
中点,只要连接AF后,就可运用阿波罗尼斯定理进行
求解了.
解 如图4,连接AF,延长BA、EF交于点H. 则
EHAH
.
在Rt△AHF中,2FH,123AH,由勾股定

理得5222FHAHAF.
在Rt△AHE中,523EH,1AH,由勾股定理得
26222EHAHAE
.
M是△AEF的边AE的中点,由阿波罗尼斯定理得

O
H
G

M
F

E

D
C
B

A

图3

图4
H
M

G

F
E

D

C
B
A
)41(22222AEFMEFAF
.
变形,并代入得214121212222AEEFAFFM.

所以22FM.
例4 如图5,MON为锐角,A、B是OM上的两个定点,P是ON上的一个动
点,问当P在什么位置时,22PBPA最小?
解析 如图5,取AB的中点C,连接PC.
由阿波罗尼斯定理,得

)41(22222ABCPPBPA
.

式中AB的长是定值,要使22PBPA最小,只需使
CP的长最小,根据“垂线段最短”可知,当CP⊥OY时,CP
的长最小.至此得到:当P在点D(D为AB的中点C在

ON上的射影)时,22PBPA最小.

例5 如图6,已知三个圆:半径分别为1、2、3的1O⊙、2O⊙、O⊙.其中,

1O⊙和2
O⊙
彼此外切,并且都和O⊙内切.若C⊙(未
画出)和O⊙内切,并分别和1O⊙、2O⊙外切,求
C⊙

的半径.
(2011年世界数学团体锦标赛(少年组))

解析 如图6,连接1OO、2OO、21OO.

由1O⊙和2O⊙彼此外切,并且都和O⊙内切,可
得32121OO,2131OO,1232OO.
所以2121OOOOOO.
所以点O在线段21OO上.
设C⊙的半径为r,连接1CO、2CO、CO.
由C⊙和O⊙内切,并分别和1O⊙、2O⊙外切, 可得
rCO3
,11rCO,22rCO.

N
M
O
P图5D

C
B
A

图6
PCO2O1O
注意到212OOOO,故可取1OO的中点P,连接CP,从而可两次使用三角形中
线的阿波罗尼斯定理,得
)41(2212221OOCPCOCO
,

)(2222222OOCOCOCP
.
所以]41)(2[22122222221OOCOOOCOCOCO,
即2)2(24)3(4)3()1(2222rrrr.
解得76r.
练习
1.如图7,M、N是Rt△ABC的斜边BC的三等分点.若
aAM,bAN,则BC
______.
(2010年世界数学团体锦标赛(少年组)样题)
答案

1. )(55322ba.

图7

N
M
C

B

A