)

1 2
mB
vB2

1 2
mA (vr2

vB2

2vrvB
cos )

1 2
mBvB2
得
1 2
mA
(vr2

vB2

2vr vB
cos
)

1 2
mB vB2

0

mA gsr
sin
（c）
将式（d）代入上式并化简可得
1
2
vB2

mA

mB

mA mA
mB cos2

设两柱体间的接触是光滑的，其斜角均为 ，如图。若开始时，系统处于静止，不计水平地
面的摩擦。试求此时棱柱体 B 的加速度 aB。
解：由整体受力图看出， Fx 0 ，所以整个系统在 x 方向的动量守恒。
初始时系统静止，即
K x mAvAx mBvBx mA (vr cos vB ) mBvB ＝0
＝v2＝v，叶片仅改变水流速的方向。由动约束力的计算公式
FN Q(v2 v1)
向 x、y 方向投影，有
Fx Av2 cos 1
得
Fx Av2 1 cos
或
Fy Av2 sin
例 10－2 质量为 mA 的小棱柱体 A 在重力作用下沿着质量为 mB 的大棱柱 B 的斜面滑下，
mA
cos2



mA
gsr
sin


将式（d）对
t
求导，且
d sr dt
vr ，再与式（a）、式（b）联立求解得
aB
mA sin2 mB cos
mAg sin
（d）
于是求得
aB

mAg cos sin mA sin 2 mB

2
mAg sin 2 mA sin 2 mB
10.4 例题分析
例 10-1 一水柱以速度 v 沿水平方向射入一光滑叶片。设水柱的射入速度与叶片相切， 水柱的截面积为 A，密度为 ，水柱离开叶片时的倾角为 ，不计水柱的重量。若叶片固定 不动，求叶片对水柱的附加动约束力主矢的分量 Fx 和 Fy。
2
解：选择叶片上的水柱为研究对象。因 AB、CD 两处截面积 A 和密度 均相等，所以 v1

FP 2 g
e 2
解得

FP1 FP2 g FP 2e
电动机将跳离地面。蛙式夯机的夯头架所以能自动跳起来，就是这个道理。
例 10-7 今有长为 AB＝2a，重为 Q 的船，船上有重为 FP 的人，设人最初是在船上 A 处，后来沿甲板向右行走， 如不计水对于船的阻力，求当人走到船上 B 处时，船向左方
1
FN Q(v2 v1)
式中 v2,v1 分别为出口处和入口处流体的速度矢量。
10.2 基本要求
1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。 2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情 形。当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。 3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。 4． 会应用质心运动定理解决质点系动力学两类问题。
FP1 g
s

FP 2 g
s

e sin t

0
解得
s

P2e P1 P2
sin t
式中负号说明，定子的位移不是向右而是向左平移。
由此可见，当转子有偏心而又没有螺栓紧固在基础时，电动机转动起来后，机座将在光
滑的水平面上作简谐运动。在铅垂方向， Fy 的最小值为
Fy min

FP1

FP 2
（2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量 Fi(e) 0 ，质点系动
量守恒，即 K=常矢量。或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴
上的投影守恒，如 Fx 0 ，则 K x =常量。
10.1.3 质心运动定理
质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。即
得
vB

mA mA mB
vr
cos
将式（a）求导，得
aB

mA mA mB
ar
cos
（a） （b）
3
式中还包含一个未知量 ar。因此，解决此问题还必须找到其他方程。由题设条件，棱柱体 A
沿棱柱体 B 滑下，由动能定理
T T0 W
其中
T0 0
T

1 2
mA
(v
2 Ax

v
2 Ay


12g sin 3l 2 sin 2 2l(3sin2 1)

(e)
6
最后，为求约束力 FN ，先求质心 C 的加速度 aC ，现以 B 为基点求 aC ，如图（c）
所示
aC aB aC B aCnB
(f)
其中
aC BΒιβλιοθήκη l , 2aCnB

l 2 2
将式（f）在铅垂上投影，有
第 10 章 动量定理
10.1 主要内容
10.1.1 质点系动量及冲量的计算
质点的动量为
K mv
质点系的动量为
K mivi mvC 式中 m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用 K ki mivCi 计算质点系的动量，式中
vCi 为第 i 个刚体质心的速度。 常力的冲量
S F t
v2

1 2
FP 2 g
v2
T1

FP1s sin
a

FP 2 s
(a)
对（a）式两边同时取导数，其中
ds dt

v
，整理得
a

FP1 sin a FP2 FP1 FP2
g
(b)
以整个系统包括楔块 D 为研究对象，应用质心运动定理，有
miaCix Fx
P1 g
a cos

Fx
(c)
物 D 作用于地板凸出部分 E 的水平压力。
s
FP1 FP2
（a）
（b）
解：首先应用动能定理求出系统的运动，然后用质心运动定理来求约束力。由动能定理
T2 T1 W
其中
T2

1 2
FP1 g
v2

1 2
FP 2 g
v2
T1 常数
W FP1s sin a FP2s
于是，有
1 2
FP1 g
于铅垂位置如图示，受扰动后，杆倒下。求杆运动到与铅垂线成角φ时，杆的角速度、角加 速度和地面的约束力 FN。
（a）
（b）
（c）
解： 以杆为研究对象，从其受力图（a）可知，Fx 0 ，即质心在 x 方向的位置守恒，
利用此条件，可知质心 C 的速度沿铅垂方向：然后，用动能定理求杆的角速度、角加速度。
向始终指向转轴。所受外力为 FP1、FP2、Fx、Fy 和力偶距 M。由质心运动定理
max Fx,

FP 2 g
e 2
sin t

Fx
may Fy,

FP 2 g
e 2
cost

Fy

FP1

FP 2
于是
7
Fx


FP 2 g
e 2
sin t
Fy
FP1

FP 2

FP 2 g
aC

l 2 2
cos

l 2
sin
将 ω 及 ε 的表达式（d）、式（e）代入，再用质心运动定理
maC mg FN
求得
FN mg maC

mg

m

12
g
(2
cos


2
cos2 4(3
sin2 sin2

) 1)
3l
2
sin
2

sin

例 10-6 电动机的外壳固定在水平基础上，定子重 FP1、质心为 C1；转子重 FP2、质心 为 C2。由于制造、安装误差，C2 不在转轴上，其偏心距为 e 。已知转子匀角速度转动，角 速度为 ，求基础的支座约束力。又假设电动机没有螺栓固定，且各处摩擦均不计，若整个
例 10－3 真空中斜向抛出一物体，在最高点时，物体炸裂成两块，一块恰好沿原轨道
返回抛射点 O，另一块落地点的水平距离 OB 则是未炸裂时应有水平距离 OB0 的两倍，求物
体炸裂后两块质量之比。
解：设炸裂后两物块的质量分别为 m1 与 m2，炸裂前共同速度为 v，炸裂后的速度分别
为 v1 与 v2。
e 2
cost
再来研究电动机没有固定的情形。此时，电动机只受重力和地面的法向约束力，电动机
在水平方向没有外力，整个系统由静止开始运动，因此，系统的质心坐标 xC 应保持不变。
假设开始时，转子在铅垂位置，即， t 0 ，转子转动后，定子也要有位移。设定子的
水平位移为 s，如图所示，则转子质心的位移为 s e sin t ，此时系统的质心不变，则
应用动量定理解质点系动力学问题时，应注意以下几点：
1．质点系动量的变化与内力无关。应用动量定理时，必须明确研究对象，分清外力与 内力，只需将外力表示在受力图上。
2．应用动量定理可解决质点系动力学的两类问题，即已知力求运动的问题和已知运动
求力的问题。一般用动量定理求未知约束力。