第一章 误差由观测产生的误会差，称为观测误差或参量误差. 由数值计算方法所得到的近似解与实际问题准确解之间出现的这种误差，称为截断误差或方法误差。

x *为准确值的一个近似值，则绝对误差: e *(x)= x-x * 绝对误差限：∣e *(x)∣=∣x-x *∣≤ε*（在知道x 准确值的条件下）相对误差：=xx x xx e*-=)(*=****)(xx x xx e -=相对误差限：******)()(rrxx x xx e x eε≤-==误差传播规律：)()()()()(2**21**1*x e x fx e x f y e ∂∂+∂∂≈*)()(**y y e y e r =（看会第七页例题）有效数字与有效数字位数：例一：对于x=π=3.14159…,若取近似值=3.14,则绝对误差∣)(*x e ∣=0.00159…≤01.021⨯,即百分位数字4的半个单位(指01.021⨯）是*x 的绝对误差限，故从*x 最左边的非零数“3”开始到百分位数字“4”的三个数都是有效数字，近似值*x 具有三位有效数字。

例二：求2*1049-⨯=x 的有效数字？有两位有效数字，即位有效数字，则有设的绝对误差限为，而可写为解：**2**x 2m 2m 0m x 105.0x 1049.0x =-=-⨯⨯-第二章 非线性方程求根二分法：[]b a x ,∈，2b a x +=分成两半，检查0)()(0<x f a f 则x *在[],x a 范围内。

1*22+-=-≤-k kk ka b a b xx预估二分法的次数：ε≤-+12k ab ，ε为允许误差（精度）。

简单迭代法：)(0)(x g x x f =⇒=,....)2,1,0)((1==+k x g x kk满足条件：1.(1)当在区间[]b a ,上g'存在，且)1(1)('的正常数为小于其中L L x g <≤；（2）对任意[]b a x ,∈，都有[]ba x g ,)(∈， 则 （1）对任取初始近似值[]b a x ,0∈，迭代法)(1x g xk =+产生的迭代序列｛kx｝都收敛于方程[]ba x g x ,)(在=上的唯一实根*x ； （2）.1*;11*011x x LLx x x x L x x kk k k k --≤---≤-+误差估计表明:要使即可。

只要εε≤--≤-+kk kx x Lx x 111,*牛顿迭代法：...)2,1,0()(')(1=-=+k x f x f x x kk若[][][][][]法；时，才可以用牛顿迭代且值上保号（同号）则当初在都有对任意上连续在使若存在区间0)(")(,x ,a )(".40)(',.30)()(.2,a )(".1,,a ,0)(000>∈≠∈<=x f x f b a b x f x f b a x b f a f b x f b x f弦割法：（初值是两个，即是一个区间）.....)2,1,0)(-()()()(111=--=--+k x x x f x f x f x x k k k k k其中x k 、x k-1为给定初值；第三章 线性代数方程组的解法高斯消元法：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n naa a a a a a a a ab A .................122322211131211)1,..2,1()(.2)..,2,1()...2,1,(,.)2,1(1..3,2,1.1,.)2,1(...... ....... ... ..... 11111113322113212221131211--=-==++=-=++=-=++==-===⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∑+=++n n i ax abxa bx n k k i b m bbn k k j i ama a k k i a am n k i aambb b b xn x x x aaaa a a aiinn nnn nnk kikk k k kj ikk ijk kk ikikn nnnnn ijij回代求解：依次计算消元计算：对向量与矩阵的范数5515551555157}3,7max{6}4,6{max 1 234211+=-=+=====⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∞A A A A A A Tλλ，有特征值又因则设列主消元法：范数名称 记号计算公式“1”列模 1A∑=≤≤ni ijnj a 11max“2”谱模 2A )(A A Tλ “∞”行模∞A∑=≤≤nj ijni a 11maxTr m r r r r m r r r X aa m a a m x x x x x x x x )0038.0,69841.0,9272.1(0.351600.39050- 000.40371 .00202 0029.204178.7 45625.5996.3)(4178.7 .00202 0029.203816.1 0010.1 77.61.004178.745625.5996.3214178.7 4 5625.5996.33816.1 078125.014.022002.04178.745625.5 3.996 1.381678125.0 4.022 002.0232332121312232322112132121321-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=++=+=++--↔-↔ ）（第一次消元三角分解法： A=LU ( L 为下三角阵，U 为上三角阵)kknk j j kjkknnnnk j jki kk kkk j jkij ikk j jikj kikii i i ii i i i iiux uyxu y xyl b y b y uul alik ul auuul al ul auual a u uu uu u uU l l l L )(11)()(,1321111111112212122121221111113323221312113121∑∑∑∑+=-=-=-=-==-==-=→-=-=→-==→=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=解三对角线方程组的追赶法：⎪⎩⎪⎨⎧-===⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------)(;1111112112112111122211i i i iin n n n n n n n n n a b c b c LU A f f f f x x x x b a c b a c b a c b ββββββ，，，算分解，即按递推公式计）实现（计算过程：⎩⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧--===+--111111)3()()(f )2(i i i i nn i i i i i i ix y x y x Y UXa b y a f y b f y LY ββ，相应的递推算式是求解方程组，相应的递推算式是求解方程组解对称正定矩阵方程组的平方根法： （1）实现楚列斯基分解解AX=b ，);,,1();,,1()(,~~11112111111112221211121222111n j n j i n j n j i l l l a l l a l l al al l l l l l l l l l l l l LL A jj j k jk ik ij ij j k jk jj jj i i nn n n nnnn T≠+=⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≠+=-=-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==∑∑-=-=（2）求解三角形方程组b Y L =~，相应的递推算式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∑-=iii k k ik i i l y l b y l b y 111111)(（3）求解三角形方程组Y X L T=~,相应的递推算式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∑+=iin i k k ki i i nn nn l x l y x l y x 1)(雅可比迭代法：例：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=⎩⎨⎧=+=+++2521353125213531525311221112212121k k k k xx xx x x x x xx x x 相应的迭代公式为：转化为：高斯—赛德尔迭代法：例：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--++++++24.02.05.11.02.03.01.02.0:24.02.05.11.02.03.01.02.01052151023210)1(2)1(1)1(3)3)1(1)1(2)(3)(2)1(1213312321321321321k k k k k k k k k xxx x x x xx x xxxx x x x x x x x x x x x x x x （故迭代公式为转化为：迭代法收敛条件与误差估计：定义3 矩阵nn R A ⨯∈的所有特征值),2,1( =i iλ的模的最大值称为矩阵A 的谱半径，记作ini 1max ),(λρρ≤≤=）（即A A定理4 矩阵A 的谱半径不超过矩阵A 的任何一种算子范数rA定理5 若迭代过程fBX Xk K +=+)()1(中迭代矩阵B 的某种算子范数1<=q Br，则（1） 对任意初始向量)0(X ,该迭代过程均收敛于方程fBX X +=的唯一解*X ;（2）rkrk rk k rk XXqqXX XXq XX )0()1()()()1()(1*11*--≤---≤-+定理6 若方程组AX=b 的系数矩阵[]nn ij a A ⨯=按行严格对角占优或按列严格对角占优，即满足条件),,2,1(),,2,1(11n j a an i a a nji i ijjjnij j ijii =>=>∑∑≠=≠=或则方程组AX=b 有唯一解，且对任意初始向量)0(X ,雅克比迭代法与高斯—赛德尔迭代法都收敛。

定理7 若方程组AX=b 的系数矩阵为对称正定矩阵，则对任意初始向量)0(X ，高斯—赛德尔迭代法收敛。

定理8 迭代过程fBX Xk k +=+)()1(对任给初始向量)0(X 收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径)(B ρ<1；且当)(B ρ<1时，迭代矩阵谱半径越小，收敛速度越快。

条件数:记作Cond （A ），Cond （A ）=1-AA)()()()()(minmax 222121A A A A A Cond A AA Cond AA A Cond T Tλλ=⇔==-∞∞-∞第四章 差值与拟合一：插值余项.),(),()()(1n )()()()(01n 1n 1n x b a x x x x fx R x p x f x R n i i n n n 且依赖于其中）！（）（即：）（∈-=+=-=∏=+++ζωωζ二：拉格朗日插值多项式xx 1x … nx)(x f y = 0y 1y … ny))(())(())(())(())(())(()()()())(()()())(()()()(120210221012012010210201011010110100x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L x x x x y x x x x y x L x x x x x x x x x x x x x x x x y x l y x L n k k k k k k n k k nk knk k k n ----+----+----=--+--=-∙∙--∙∙--∙∙--∙∙-==++==∑∑三点插值（抛物插值）插值）其中：两点插值（线性三：差商与牛顿基本插值多项式，记作)(x N n，即][][][][ik jik j kj i ij ij j ii i n i n n n x x x x f x x f x x x f x x x f x f x x f y x N n i a x x x x x x a x x x x a x x a a x N --=--===-∙∙--++--+-+=-,,,)()(,)(),,1,0()())(())(()()(110102010二阶差商：记作一阶差商：记作确定可由插值条件其中系数[])(ii x f x f =零阶差商差商的表格;kx )(k x f 一阶差商二阶差商三阶差商x)(0x f[]10,x x f1x)(1x f[]210,,x x x f[]21,x x f[]3210,,,x x x x f2x)(2x f[]321,,x x x f[]32,x x f3x)(3x f[][][][])(())((,,,))((,,)(,)(:n1010*********x R x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N n n 余项仍为上述余项公式计算公式为-∙∙--++--+-+= 四:差分与等距结点下的牛顿公式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈+-∙∙-=+∆+-∙∙-++∆-+∆+=++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆-∆=∆-=∆∆+=++++),()()!1()()1()((!)1()1(!2)1()(,h 0)1(10n 00200001210n n n nn kk k k k k k k x x f h n n t t t kh x R y n n t t t y t t y t y kh x N kh x x y y y y y y y khx x ζζ ：前插公式的余项可写为由公式令计算过程：二阶差分记作：一阶差分记作为步长。