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高中数学空间几何体的内切球与外接球问题

空间几何体的内切球与外接球问题1.[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A .12π B.323π C .8π D .4π[解析]A 因为正方体的体积为8,所以正方体的体对角线长为23,所以正方体的外接球的半径为3,所以球的表面积为4π·(3)2=12π. 2.[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ,AB =6,BC =8,AA 1=3,则V 的最大值是( )A .4π B.9π2 C .6π D.32π3[解析]B 当球与三侧面相切时,设球的半径为r 1,∵AB ⊥BC ,AB =6,BC =8,∴8-r 1+6-r 1=10,解得r 1=2,不合题意;当球与直三棱柱的上、下底面相切时,设球的半径为r 2,则2r 2=3,即r 2=32.∴球的最大半径为32,故V 的最大值为43π×⎝⎛⎭⎫323=92π.3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中,∠CBA =120°,AD =4,对角线BD =23,将其沿对角线BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,若四面体ABCD 的顶点在同一球面上,则该球的体积为________.答案:2053π;解析:因为∠CBA =120°,所以∠DAB =60°,在三角形ABD 中,由余弦定理得(23)2=42+AB 2-2×4·AB ·cos 60°,解得AB =2,所以AB ⊥BD .折起后平面ABD ⊥平面BCD ,即有AB ⊥平面BCD ,如图所示,可知A ,B ,C ,D 可看作一个长方体中的四个顶点,长方体的体对角线AC 就是四面体ABCD 外接球的直径,易知AC =22+42=25,所以球的体积为2053π.4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S ,A ,B ,C ,其中O ,A ,B ,C 四点共面,△ABC 是边长为2的正三角形,平面SAB ⊥平面ABC ,则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( )A .33B . 3C .2 3D .4 选A ;[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ,所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上,根据球的对称性可知,当S 在“最高点”,即H 为AB 的中点时,SH 最大,此时棱锥S -ABC 的体积最大.因为△ABC 是边长为2的正三角形,所以球的半径r =OC =23CH =23×32×2=233.在Rt △SHO 中,OH =12OC =33,所以SH =⎝⎛⎭⎫2332-⎝⎛⎭⎫332=1, 故所求体积的最大值为13×34×22×1=33.5.[2016·赣州模拟] 如图7-38-19所示,设A ,B ,C ,D 为球O 上四点,AB ,AC ,AD 两两垂直,且AB =AC =3,若AD =R(R 为球O 的半径),则球O 的表面积为( )图7-38-19A .πB .2πC .4πD .8π选D ;解析:因为AB ,AC ,AD 两两垂直,所以以AB ,AC ,AD 为棱构建一个长方体,如图所示,则长方体的各顶点均在球面上,AB =AC =3,所以AE =6,AD =R ,DE =2R ,则有R 2+6=(2R )2,解得R =2,所以球的表面积S =4πR 2=8π.6.[2016·安徽皖南八校三联] 如图所示,已知三棱锥A -BCD 的四个顶点A ,B ,C ,D 都在球O 的表面上,AC ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,且AC =3,BC =2,CD =5,则球O 的表面积为( )A .12πB .7πC .9πD .8π[解析]A 由AC ⊥平面BCD ,BC ⊥CD 知三棱锥A -BCD 可以补成以AC ,BC ,CD 为三条棱的长方体,设球O 的半径为R ,则有(2R )2=AC 2+BC 2+CD 2=3+4+5=12,所以S 球=4πR 2=12π.7.[2016·福建泉州质检] 已知A ,B ,C 在球O 的球面上,AB =1,BC =2,∠ABC =60°,且点O 到平面ABC 的距离为2,则球O 的表面积为________.答案:20π [解析] 在△ABC 中用余弦定理求得AC =3,据勾股定理得∠BAC 为直角,故BC 的中点O 1即为△ABC 所在小圆的圆心,则OO 1⊥平面ABC ,在直角三角形OO 1B 中可求得球的半径r =5,则球O 的表面积S =4πr 2=20π.8. [2016·河南中原名校一联] 如图K38­16所示,ABCD -A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方体,S -ABCD 是高为1的正四棱锥,若点S ,A 1,B 1,C 1,D 1在同一个球面上,则该球的表面积为( )图K38­16A.916πB.2516πC.4916πD.8116π选D ;[解析] 如图所示作辅助线,易知球心O 在SG 1上,设OG 1=x ,则OB 1=SO =2-x ,同时由正方体的性质知B 1G 1=22,则在Rt △OB 1G 1中,由勾股定理得OB 21=G 1B 21+OG 21,即(2-x)2=x 2+⎝⎛⎭⎫222,解得x =78,所以球的半径R =2-78=98,所以球的表面积S =4πR 2=8116π.9.[2013·课标全国Ⅰ]如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3解析:设球半径为R ,由题可知R ,R -2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA 为直角三角形,如图.BC =2,BA =4,OB =R -2,OA =R , 由R 2=(R -2)2+42,得R =5,所以球的体积为43π×53=5003π(cm 3),故选A 项.答案:A10.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32,则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A .12πB .36πC .72πD .108π选B ;解析:依题意得,该正四棱锥的底面对角线长为32×2=6,高为 (32)2-⎝⎛⎭⎫12×62=3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心,其外接球的半径为3,所以其外接球的表面积等于4π×32=36π. 11.[2014·石家庄质检一]已知球O ,过其球面上A 、B 、C 三点作截面,若O 点到该截面的距离是球半径的一半,且AB =BC =2,∠B =120°,则球O 的表面积为( )A.64π3B.8π3 C .4π D.16π9解析:如图,球心O 在截面ABC 的射影为△ABC 的外接圆的圆心O ′.由题意知OO 1=R2,OA =R ,其中R 为球O 的半径.在△ABC 中, AC =AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos120° =22+22-2×2×2×⎝⎛⎭⎫-12=2 3. 设△ABC 的外接圆半径为r ,则2r =AC sin120°=2332=4,得r =2,即O ′A =2.在Rt △OO 1A中,OO 21+O 1A 2=OA 2,即R 24+4=R 2,解得R 2=163,故球O 的表面积S =4πR 2=64π3,故选A.答案:A12.[2014·郑州模拟]在三棱锥A -BCD 中,AB =CD =6,AC =BD =AD =BC =5,则该三棱锥的外接球的表面积为__________.解析:依题意得,该三棱锥的三组对棱分别相等,因此可将该三棱锥补形成一个长方体,设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ,且其外接球的半径为R ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2=62,b 2+c 2=52,c 2+a 2=52,得a 2+b 2+c 2=43,即(2R )2=a 2+b 2+c 2=43,易知R 即为该三棱锥的外接球的半径,所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR 2=43π.答案:43π13.[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A.81π4 B .16π C .9π D.27π4答案:A ; [解析] 如图所示,E 为AC 与BD 的交点.因为正四棱锥的底面边长为2,所以AE =12AC = 2.设球心为O ,球的半径为R ,则OE =4-R ,OA =R .又因为△AOE 为直角三角形,所以OA 2=OE 2+AE 2,即R 2=(4-R )2+2,解得R =94,所以该球的表面积S =4πR 2=4π⎝⎛⎭⎫942=81π4.14.[2016·湖南八校联考] 如图是一个几何体的三视图, 则这个几何体外接球的表面积为( )A .8πB .16πC .32πD .64π答案:C ; [解析] 该几何体为一个四棱锥,其外接球的球心为底面正方形的中心,所以半径为22,表面积为4π×(22)2=32π.15.已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点在同一球面上,底面ABCD 是正方形且球心O 在此平面内,当四棱锥的体积取得最大值时,其表面积等于16+163,则球O 的体积等于( )A.42π3B.162π3C.322π3D.642π3答案:D ; [解析] 由题意,当此四棱锥的体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥.设球O 的半径为R ,则AC =2R ,SO =R ,∴AB =2R ,则有(2R )2+4×12×2R ·⎝⎛⎭⎫22R 2+R 2=16+163,解得R =22,∴球O 的体积是43πR 3=6423π.16.[2016·武汉调研] 已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上,若AB =AC =AA 1=2,∠BAC =90°,则该球的体积等于________.答案:43π; [解析] 设该球的球心为O ,△ABC 所在圆面的圆心为O 1,则OO 1⊥平面ABC 且OO 1=1.在△ABC 中,因为AB =AC =2,∠BAC =90°,所以△ABC 外接圆的半径r =12BC =12AB 2+AC 2=2,所以该球的半径R =r 2+O 1O 2=(2)2+12=3,所以该球的体积V =43πR 3=43π.。

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