3 3 3 81
A
S4R241664 .
99
.
O C
O
B
6
球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
.
24
2.求棱长为a的正四面体的棱切球的半径R.
R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
.
25
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
正四面体的外接球和内切球的球心为什么重合？
1
1
？
V3S底面h积3S全面r积
S底 面 积hS全 面 积r
S底面积 r 1 S全面积 h 4
r1h h 6a
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于 球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体
体对角线长为 1 4 ，故球的表面积为1 4 .
变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱
高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C）
A. 1 6 B. 2 0 C. 2 4 D. 3 2
.
21
如何求直棱柱的外接球半径呢？（底面有 外接圆的直棱柱才有外接球）
Rd r
5
例题讲解
例.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等 于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积， 表面积．
解 R O O A ： 中 t , O 2 O O 在 2 A O A 2 ,
R2 (R)2 (2 3)2,
2
3
R 4. 3
V4R34(4)325;6
AP●
B
A
.
R
O R ● 1
·
D
●O
C
M
●
D
B
31
.正四面体的内切球 还可利用截面三角 形来求
P
OK
A
C
B
H D
B
.
A
1
3
O• F
E O1
2
32
总结
求棱锥外接球半径常见的补形有： 正四面体常补成正方体； 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长（正）方体； 三组对棱（两条棱所在任意平面都不平行）分别相
等的三棱锥可补成长（正）方体； 侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
B1
A1
C
gO
C1
正方体的外接球半径是体对
角线的一半
.
11
正方体的棱切球
.
12
.
13
切点：各棱的中点。
球心：正方体的中心。.ຫໍສະໝຸດ 14D AD1
C 正方体的棱切球
B
中截面
O
.
C1
A1
B1
正方体的棱切球半径是面对角
线长的一半
.
15
.
.
16
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各 面,一球切于正方体的各侧棱,一球过 正方体的各顶点,求这三个球的体积 之比.
4
3
.
r 6a 12
26
.
27
r 6a 12
R＝ 2 a 4
R:r=3:1
R＝ 6 a 4
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
.
28
正四面体的内切球, 棱切球,外接球
三个球心合一
半径之比为： 3 : 1 : 3 3
1: 2 : 3
.
29
.
30
.正四面体的外接球还
可利用直角三角形勾
股定理来求
有P、A、B、C四点，
且PA、PB、PC两两 A
互相垂直，若 PA=PB=PC=a，求这
O C
个球的表面积和体积。
P
.
B
35
1、正多面体的内切球和外接球 的球心重合
2、正棱锥的内切球和外接球球 心都在高线上，但不重合
3、体积分割是求内切球半径的 通用做法
.
36
4．半径为 R 的球的外切圆柱的表面积是________．
内切球球心到多面体各面的距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等
棱切：
一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。
.
7
正方体的内切球
.
8
中截面
切点：各个面的中心。 球心：正方体的中心。
正方体的内切球的半. 径是棱长的一半9
正方体的外接球
.
10
D A
D1 A1
C B O
对角面 A
C1
设长方体的长分 、别 宽a为 、 、 b、 高 c，则
l a2b2c2 2R
.
19
？
一般的长方体有内切球吗？
没有。一个球在长方体内部，最多可 以和该长方体的5个面相切。 如果一个长方体有内切球，
那么它一定是 正方体
.
20
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且 一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球 的表面积为 .
解析：外切圆柱的底面半径为 R，高为 2R.
答案：6πR2
.
37
【典例】(2012·新课标全国卷)已知三棱锥S-
ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长
（1）先找外接球的球心：
它的球心是连接上下两个多边形的外心的 线段的中点；
（2） 再构造直角三角形，勾股定理求 解。
.
22
.
23
正四面体与球
1.求棱长为a的正四面体的外接球的半径R.
将正四面体放到正方体中，
得 正 方 体 的 棱 长 为 2 a, 2
且正四面体的外接球 即正方体的外接球，
所 以 R＝ 6 a. 4
.
3
如图,圆柱的底面直径与高都等于球 的直径,求证:
(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.
(2)球的体积等于圆柱体积的三分之 二.
O
.
4
截面问题
• 用一个平面去截一个球O，截面是圆面 • 球的截面的性质：
1、球心和截面圆心的连线垂直于截面 2、球心到截面的距离为d，球的半径
为R，则
r2R2d2
ß
.
O
SA=BC SC=AB SB=AC
.
33
小结2
求棱锥外接球半径的方法： （1）补形法（适用特殊棱锥） （2）勾股定理法 （通法）
关键是找球心，画出截面图，构造与R有关 的直角三角形。
.
34
变题：
1. 已知长方体的长、宽、高分别是 3 、 5 、1 ，
求长方体的外接球的体积。
2. 已知球O的表面上
1:2 2 :3 3
.
17
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同
一球面上，则该球的表面积为
.
R3 3, 2
解：S表
4
(3 3)2 2
27
变式题：一个正方体的各顶点均在同
一球的球面上，若该正方体的表面积
为24，则该球的体积为
.
4 3
.
18
§2长方体与球
长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
球
.
1
球的体积、表面积公式：
①V 4 R 3
3
②S 4 R 2
.
2
练习
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_: _2__2. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是__1_:_3__4.