数学能力专题训练三（综合题解法）
要点：所谓综合题，是泛指题目本身或在解题过程中，涉及多个知识点和多种数学思想方法、具有较高能力要求的数学题.
如下,我们从八个方面举例,对综合题的解题策略作一探讨.
一、从条件入手——分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘.
1.已知ΔABC 的外接圆半径为R,并且有2R(sin 2A-sin 2C)=(2a-b)sinB,求ΔABC 的面积的最大值.
2.是否存在实数a(a>0且a≠1)，使方程log a (4x 2
-4ax)-2log a
(2x-a+1)=0有解?若存在,求出a 的取值范围和方程的解;若不存在,说明理由.
3.设z 是虚数，ω=z+
z 1是实数，且-1＜ω＜ 2.(1)求|z|的值及z 的实部的取值范围; (2)设z
z u +-=11,求证:u 是纯虚数;(3)求ω-u 2的最小值.
4.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AC=BC,D 为AB 的中点,异面直线
BC 1与AB 1互相垂直.(1)求证:AB 1⊥平面A 1CD;(2)若CC 1与面ABB 1A 1
的
距离为1,A 1D=23,AB 1=26,求三棱锥A 1-ACD 的体积.
二、从结论入手---执果索因,搭好联系条件的桥梁.
5.已知函数f(x)是定义在R 上的增函数,当θ∈[0,
2π]时,是否存在这样的实数m,使f(4m-2mcosθ)>f(3-cos2θ)对所有θ∈[0,
2π]均成立?若存在,求出所有适合条件的实数m;若不存在,说明理由.
6.已知椭圆)41(112
2≤≤=++m m y m x ,过其左焦点
F 1
且斜率为3的直线与椭圆及其准线的交点从左到右依次
为A 、B 、C 、D,记f(m)=||AB|-|CD||.(1)求f(m)的解析式;(2)
求 f(m)的最大值和最小值.
7.如图,在直角梯形ABCD 中,AD=3,AB=4,BC=3,曲线DE 上
任一点到A 、B 两点距离之和都相等.(1)适当建立坐标系,求曲
线DE 的方程;(2)过点C 能否作一条与曲线DE 相交且以C 为中
点的弦?若能,求出弦所在的直线方程;若不能,说明理由.
三、 回到定义和图形中来.
8.已知椭圆的一个焦点和一条准线与抛物线y 2=8(x+2)的焦点和准线分别重合.(1)求椭
圆短轴端点的轨迹C;(2)过点A （-4，0）、斜率为k 的直线l 与C 交于第一象限内的两点P 、Q ，定点B （0，8）与PQ 的中点M 的连线交x 轴于点N ，若点N 位于点A 左侧，求k 的取值范围.
9.已知复数z 1=3+I,z 2=r(cosθ+isinθ)(r>0,0<θ<π),z 3=z 1z 2.若|z 1-z 2|=r+1,求r 和θ的取值范围.
10.已知f(θ)=).,0(,2sin 225sin
21πθθθ
∈+-(1)将f(θ)表示为关于cosθ的多项式;(2)试
求曲线y=kcosθ+k 与曲线y=f(θ)至少有一个公共点时k 的取值范围.
11.已知数列{a n }的前n 项和S n =1-na n (n∈N).(1)试求a 1,a 2,a 3;;(2)写出数列{a n }的通项公式,并用数学归纳法证明.
四、以简单的、特殊的情况为突破口.
12.设a n =).1(11110≥+++n C C C n n n n 求证: (1)a n =1+);2(211≥+-n a n n n (2);620n a n ≤-≤ (3)
.2lim =∞
→n a n
13.已知抛物线C 的顶点在原点,焦点在轴上,ΔABC 的重心在抛物线的焦点上,且三个顶点均在抛物线上,若BC 所在的直线方程为 4x-y-20=0,(1)求抛物线C 的方程;(2)是否存在定点M,使过点M 的动直线l 与C 交于P,Q,且∠POQ 恒为直角?证明你的结论.
五、构造辅助问题(函数、方程、图形……),换一个角度去思考.
14.(1)已知a 、b 、c 是ΔABC 的三边,求证:;111c
c b b a a
+>+++ (2)已知f(t)=log 2t,]8,2[∈t ,对于f(t)值域内的所有实数m,不等式x 2+mx+4>2m+4x
都能成立,求x 的取值范围.
15.如图,线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0),端点A,B到x轴
距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A,O,B三点作抛物线.(1)求抛物
线方程;(2)若tg∠AOB=--1,求m的取值范围.
16.若对一切实数p,|p|<2,不等式(log2x)2+plog2x+1>2log2x+p恒成立,求实数x的取值范围.
17.直线l: 5x—7y—1=0交以坐标轴为对称轴的双曲线C于A、B两点,定点P(5,14)与A,B 构成以AB为斜边的等腰直角三角形,求双曲线C的方程.
六、通过横向沟通和转化,将各数学分支中不同的知识点串联起来.
18.如图，B是半圆O上的动点，OB=1，OA=2，△ABC
是等腰直角三角形，BC为斜边，试求O，C两点之间距离
的最大值。
19．复数z 1,z 2对应于复平面内的点A ，B ，且满足条件：（1）z 1=riz 2(r ∈R 且r ≠0);（2）|z 1|+|z 2|+|z 1-z 2|=10,求△AOB 面积的最大值.
七、培养整体意识，把握整体结构。
20．求同时满足下列两个条件的复数z: (1);6101,10≤+<∈+z
z R z z 且(2)z 的实部和虚部都是整数。
21．设函数).,,0(1
2)(22R b a a x b ax x x ∈≠+++=ϕ试证明：
(1) 存在两个实数m 1,m 2(m 1<m 2)，满足);2,1()
1)(1(])1[()(22=+-+-=-i x m a x m m x i i i ϕ (2) (1－m 1)(1－m 2)=－a 2; (3).)(21m x m ≤≤ϕ
八、连续性问题——承上启下,层层递进,充分利用已得出的结论.
22.已知ΔABC 中，a,b,c 三边成等差数列。
(1) 证明：;2cos 2cos 2C A C A -=+ (2)求2
2C tg A tg 的值；
(2) 求cosA+2cosB+cosC 的值；(4)求cosA+cosC －cosAcosC+3
1sinAsinC 的值；
23.已知动点P 与双曲线1232
2=-y x 的两个焦点所连线段的和为定长,且这两条线段夹
角的余弦值之最小值是9
1-.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)在x 轴的正半轴上求一点Q,使点Q
与这轨迹上的点的最近距离为1.
24.已知ΔABC 三个内角A,B,C 满足A+C=2B,设 x=cos 2C
A -,f(x)=cosB(}cos 1cos 1C
A +.(1)试求f(x)的解析式及其定义域;(2)在定义域内讨论这个函数的单调性,并加以证明;(3)求这个函数的值域.
25.(1)已知a>0,a≠1,k∈R,求函数y=lg(a x -k•2x )的定义域;
(2)已知F(x)=2).4(log )2(log 2
2121---x k x 若方程F(x)=0有解,求k 的取值范围.。