安徽省合肥市2018届高三调研性检测试题数学理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则21ii=-（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i - D ．1i --2.已知集合{},x A y y e x R ==∈，{}260B x R x x =∈--≤，则A B ⋂=（ ） A ．()0,2 B ．(]0,3 C ．[]2,3- D ．[]2,3 3.执行如图的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A ．9B ．19C ．33D ．514.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为（ ）A B C. D 1 5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．72B ．144 C. 216 D．105+6. 在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c，60,4,C a b c =︒==，则ABC ∆的面积为（ ） A7. 已知,x y 满足约束条件252340380x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．4 C. 5 D ．68. 已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后，所得的图象关于y 轴对称，则ω的最小正值为（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．49.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（ ） A ．250个 B ．249个 C. 48个 D ．24个 10.函数()1x x y e e x x -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象大致是（ ）A ．B ．C. D ．11.已知0a b >>，则41a ab a b+++-的最小值为（ ）A B ．4 C. ． 12.已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于,A B 两点，且3AF FB =.直线12l l 、分别过点,A B ，且与x 轴平行，在直线12l l 、上分别取点M N 、（M N 、分别在点,A B 的右侧），分别作ABN ∠和BAM ∠的平行线且相交于P 点，则PAB ∆的面积为（ ）A ．643 B ．323第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 命题0:1p x ∃>，使得20021x x -<，则p ⌝是 ．14. 已知()()2,51,1,1a t b t =-=+-，若a b a b +=-，则t = ． 15.()52x a -展开式中3x 的系数为720，则a = ． 16.已知函数()ln x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使()()20f k f k ->⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()sin cos f x x x =+.（Ⅰ）当()f x =时，求sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）若()()2g x f x =，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域.18. 近期“共享单车”在全国多个城市持续升温，某移动互联网机构通过对使用者的调查得出，现在市场上常见的八个品牌的“共享单车”的满意度指数如茎叶图所示：（Ⅰ）求出这组数据的平均数和中位数；（Ⅱ）某用户从满意度指数超过80的品牌中随机选择两个品牌使用，求所选两个品牌的满意度指数均超过85的概率.19. 数列{}n a 满足1111,021n n n a a a a ++=+=-.（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）若数列{}n b 满足1122,1n nn n b a b b a +==+，求{}n b 的前n 项和n S . 20. 平行四边形ABCD 中，,2DAB AD AB π∠==,BCD ∆为等边三角形，现将ABD ∆沿BD 翻折得到四面体P BCD -，点,,,E F G H 分别为,,,PB PD CD CB 的中点.（Ⅰ）求证：四边形EFGH 为矩形；（Ⅱ）当平面PBD ⊥平面CBD 时，求直线BG 与平面PBC 所成角的正弦值.21. 已知M 为椭圆22:1259x y C +=上的动点，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足，点P满足53PD MD =.（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若,A B 两点分别为椭圆C 的左右顶点，F 为椭圆C 的左焦点，直线PB 与椭圆C 交于点Q ，直线,QF PA 的斜率分别为,QF PA k k ，求QF PAk k 的取值范围.22. 已知函数()1x e f x x-=.（Ⅰ）判断函数()f x 的单调性； （Ⅱ）求证：()()2ln 1ln 1x e x x x +≥++.试卷答案一、选择题1-5: ABCBA 6-10: ABBCD 11、12：DC二、填空题13.21x x x ∀>1,-2≥ 14. 1 15.3± 16.11ln 21ln3123a -≤<-三、解答题17. 解：（Ⅰ）依题意，()2sin cos sin cos 2sin 21x x x x x +=+=⇒= ∴cos20x =,∴1sin 2cos 332x ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭（Ⅱ）()sin 2cos 224g x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. ∴函数()f x的值域为⎡-⎣. 18.解：（Ⅰ）平均数37038029079364203838x ⨯+⨯+⨯++++++++==；8个数按从小到大的顺序排列为：73,77,79,82,84,86,90,93.这组数据最中间的两个数的平均数为8284832+=，故这组数据的中位数为83. （Ⅱ）满意度指数超过80的品牌有5个，从中任选两个有25C 种，其中所选两个品牌的满意度指数均超过85的有23C 种，故所选两个品牌的满意度指数均超过85的概率为2325310C C =.19. 解：（Ⅰ）若10n a +=，则0n a =，这与11a =矛盾， ∴10n a +≠，由已知得1120n n n n a a a a ++-+=， ∴1112n na a +-=， 故数列{}n a 是以111a =为首项，2为公差的等差数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1112121n n a =+-=-， 由112n n n n b ab a ++=⋅可知112n n n n a b a b ++=.又112a b = ∴1222n n n n a b -=⨯= ∴()212n n b n =-⋅， ∴()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅， 则()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，∴()()231122222222123226n n n n S n n ++-=+⋅+⋅++⋅--⋅=-⋅-，∴()12326n n S n +=-⋅+20. 解：（Ⅰ）∵点,,,E F G H 分别为,,,PB PD CD CB 的中点， ∴12EF BD GH ==且////EF BD GH ， ∴四边形EFGH 为平行四边形. 取BD 的中点O ，连结,PO CO .∵PBD ∆为等腰直角三角形，BCD ∆为正三角形， ∴,,PO BD CO BD PO CO O ⊥⊥⋂=, ∴BD ⊥平面POC .又∵PC ⊂平面POC ，∴BD PC ⊥， 由//EH PC 且//EF BD 可得EF EH ⊥， ∴四边形EFGH 为矩形.（Ⅱ）由PBD CBD PBD CBD BDPO PO BD PO PBD ⊥⎧⎪⋂=⎪⇒⊥⎨⊥⎪⎪⊂⎩平面平面平面平面平面平面BCD 分别以,,OB OC OP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.依题意，设4BD =，则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,0,0,,0,0,2,O B D C P G --， ∴()()()2,0,2,2,23,0,3,PB BC BG =-=-=-.设(),,n x y z =为平面PBC 的一个法向量，则有22020n PB x z n BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1y =，则(3,1,n =.∴直线BG 与平面PBC 所成角θ的正弦值3sin cos ,2BG n BG n BG nθ⋅-====. 21. 解：（Ⅰ）设()(),,,P x y M m n 依题意(),0D m ，且0y ≠， ∵53PD MD =,即()()5,0,3m x y n -=-,则有05335m x m x y n n y -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-=-=⎪⎪⎩⎩.又∵(),M m n 为椭圆22:1259x y C +=上的点，可得22351259y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即2225x y +=， 即动点P 的轨迹E 的方程为()22250x y y +=≠. （Ⅱ）依题意()()()5,0,5,0,4,0A B F --，设()00,Q x y∵AB 为圆E 的直径，则有AP BP ⊥，故,AP BP 的斜率满足1PA PBk k =-， 0000145QF QFQF PB QF QB PAPBk k y y k k k k k x x k ==-=-=-⋅+--()()()()2020000091254545x y x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=-+-+-()()()20000009925(5)9125251454254x x x x x x -+⎛⎫===+ ⎪+-++⎝⎭， ∵点P 不同于,A B 两点且直线QF 的斜率存在，故055x -<<且04x ≠-， 014x +在()5,4--和()4,5-都是单调减函数， 0911254x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的范围为()2,0,5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭， 故QF PAk k ∈()2,0,5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.22. 解：（Ⅰ）由已知()f x 的定义域为{}0x x ≠，()()()22111x x x e x e x e f x x x ⋅---+'==,设()()11x g x x e =-+，则()0x g x xe '==，得0x =， ∴()g x 在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是增函数， ∴()()00g x g ≥=∴()f x 在(),0-∞和()0,+∞上都是增函数. （Ⅱ）设()()ln 1h x x x =-+， 则()11011x h x x x '=-==++，得0x =， ∴()h x 在()1,0-上是减函数，在()0,+∞上是增函数， ∴()()00h x h ≥=，即()ln 1x x ≥+. ①当0x >时，()ln 10x x ≥+>， ∵()f x 在()0,+∞上是增函数，∴()()()ln 1f x f x ≥+，即()1ln 1x e xx x -≥+，∴()()21ln 1x e x x -+≥. ②当10x -<<时，()0ln 1x x >≥+，∵()f x 在(),0-∞上是增函数，∴()()()ln 1f x f x ≥+，即()1ln 1x e xx x -≥+，∴()()21ln 1x e x x -+≥. ③当0x =时，()()21ln 10x e x x -+==由①②③可知，对一切1x >-，有()()21ln 1x e x x -+≥，即()()2ln 1ln 1x e x x x +≥++.。