例4.7 设 A C mn ，证明函数
2 AF a ij i 1 j 1
m n
1/ 2
(tr ( A A))
H
1/ 2
是 Cmn上的矩阵范数，且与向量范数 2 相容.
证：验证（3）设A 的第j 列为 a j ( j 1,2,, n)
BCmn的第j 列为b j ( j 1,2,, n) ，则有
H
（ 3 ） A max aij .
i j 1
n
通常称 A 1 , A 2 与 A 依次为列和范数，谱范数及 行和范数.
2. P-范数
一些性质：（和向量范数类似） 1. 矩阵A的任意一种矩阵范数都是A中元素 的连续函数。 2. 任意两种矩阵范数是等价的，等价定义 同向量范数。
三. 矩阵的谱半径及其性质
A B F a1 b1 2 a2 b2 2 an bn a1 2 b1
2 2 2
2
2
2
2 2

2
an 2 bn
2 2
2

2
( a1 2 an 2 ) 2( a1 2 b1 2 an 2 bn ( b1 2 bn 2 )
所以
A B
2 F
2
AF 2 AF B
2
F
B
2 F
AF B

F

2
即三角不等式成立.
再设B
,则AB =
m l n 2 m l n
, 于是有
2
AB
2 F
aik bkj aik bkj i 1 j 1 k 1 i 1 j 1 k 1 m l n 2 n 2 ( aik )( bkj ) i 1 j 1 k 1 k 1
取与矩阵范数 相容的向量范数 V ，
则由 Ax x ，可得
x V x V Ax V A x V
因为 x O ，所以 A , 从而 ( A) A 。 性质1 设 A C
nn
，则 ( A ) ( A)
k k
. .
性质2 对任意非奇异矩阵 A C nn ，则
二. 矩阵范数 1. 定义（非负性，齐次性，三角不等式, 相容性）
x x
(k )
x 0
）
2. 等价性
3. 应用
(k ) (k ) A A A A 0 （1）
（下一章讲）
（2） ( A) A
H M
, x C
n
是 Cn上的向量范数，且矩阵范数 M 与向量 范数 V 相容。（即对任一方阵范数， 一定存在与它 相容的向量范数 ） 证 非负性. 当 时， ，从而 从而
；当x=O时，
齐次性. 对 k C，有
kx V kxy
H M
k xy
nห้องสมุดไป่ตู้
H M
k xV
三角不等式. 对 x1 , x2 C
A 2 1/ 2 ( AH A) 1/ 2 ( AAH )
结合性质1和性质2，则有当 A 是Hermite 矩时， A 2 ( A) .
第四章总结
一.向量范数
1. 定义（非负性，齐次性，三角不等式）
2. 等价性
3. 应用（
c1 x x c2 x
x
(k )
F-范数. 是最常用的矩阵范数。
A F 的特点：矩阵的F-范数是酉不变的.
定理4.5 设 A C ，且 P C 与Q C 都是酉矩阵，则 PA F A F AQ F 证 因为
mn
mm
nn
即
，于是
定理4.6 设 M 是 Cnn上的方阵范数，任取Cn 中的非零列向量y ,则函数 x V xy
若对 Cmn ,Cnl 与Cml上的同类广义矩阵范数 有 （4）相容性： 则称 为A 的矩阵范数. （2.2.1）
例4.6 已知 A ( aij ) C nn , 证明二函数
A m1
i , j 1
a
n
ij
, A m n max aij
i, j
都是 Cnn 上的矩阵范数. 证：仅第一个就三角不等式与相容性加以验证。
nn A C 定义4.5 设 的n 个特征值为 1 , 2 ,
, n 称 ( A) max i 为方阵A 的谱半径.
i
定理4.8 设 A C nn ，则对 C nn 上的任 何一种矩阵范数 ，都有 ( A) A 证 设A 的属于特征值
的特征向量为 x ，
例如： 设A aij C
的矩阵范数依次是：
mn
, x 1, 2, ..., n C n ,
T
则从属于向量 x 的三种范数
(1) A 1 max aij ；
j i 1 m
x 1, x 2 , x
(2) A 2 1 , 1是A A的最大特征值;
4.2 矩阵的范数
一.定义与性质
定义4.3 设A Cmn，定义一个实值函数 与之对应，且满足以下三个条件 时, ; 当 A=0 时,
（1） 非负性: 当 ;
(2) 齐次性: (3) 三角不等式: 则称 为A 的广义矩阵范数.
aA a A , a C A B A B , B C mn C mn , C nl 与C ml AB
，有
因此， x V是 C n 上的向量范数. 当 A C nn ,
x C n 时，
所以矩阵范数 M 与向量范数 V 相容. 二. 几种常用的矩阵范数
1. 从属于向量范数的矩阵范数
定理4.7 已知 上的向量范数 ,则
，
是一个矩阵范
数，且与已知向量范数相容。 也称此矩阵范数为从属于向量范数的算子范 数 or 由向量范数导出的矩阵范数。
A B
n m1

i , j 1 n
a b
n
ij
bij
i , j 1
a
n
ij
bij

i , j 1
a
ij
i , j 1
ij
A m1 B
m1
定义4.4
n
C 上的同类向量范数 V ，如果
mn
对于 Cmn上的矩阵范数 M 和
n
Ax v A M x V , A C , x C 则称矩阵范数 M与向量范数 V 是相容的.
m n
l n 2 2 2 aik bkj A F B i 1 k 1 j 1 k 1 即 A F是A 的矩阵范数. 取 B= ,则有
2 F
Ax 2 AB F A F B F A F x 2
即矩阵范数 F 与向量范数 2 相容. 范数 F 又称为Frobennius范数，或简称为