重点： 施密特正交化方法；正交子空间及其正交补；
正交投影；酉变换；算子范数；相容性
难点： 正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与
向量范数的相容性
范数集中描述了向量空间的中大小和距
离的度量。
从范数可以导出向量与向量、矩阵与矩阵之间
的距离，进而引出向量序列和矩阵序列收敛的
问题。
§2.5
向量范数与矩阵范数
考虑线性空间Cn中的单位球面
S { x ( x1 , x2 , , xn )T | x |21 | x |2 2 | x |2 n 1}
由于S是有限闭集，且f(x)在S上的点均不为0，因
此，f(x)在S上连续。根据多元函数的性质，在S上
可取得最大值M与最小值m，即
0 m min
x S
x x


x x

max
x S
x x

M
对任意的向量x∈ Cn ，且x≠0，则
y x | x1 | | x2 | ... | xn |
2 2 2
S
m
y y

M
注意到
y y

x,
x
2

| x1 | | x2 | ... | xn | 1

数,则对于任意的 x V ,有:
(1) x max{ x , x } 是 V (F ) 上的范数. (2) x k1 x

k2 x

是V (F ) 上的范数.
x 0 ，可知
其中k1，k2为正实数。 证明(1)：当 x 时，由 x 0

x max{ x , x } 0
kx
p
( kxi ) ( k
i 1
n
1 p p
p
x
i 1
n
1 p p i
) k x
p
(3) 由Minkowski不等式知
x y
p
( xi yi )
p i 1 n 1 p p
n
1 p
( x i ) ( yi ) x p y
p i 1 i 1
即正定性成立。
对任意的常数k∈C，及任意的x∈V，有
kx max{ kx

, kx


} max{ k

x

, k
x

}
k max{ x
, x
} k
x
即齐次性成立。 (1) x max{ x , x } 是 V (F ) 上的范数. 对任意的y∈V，有
x y max{ x y max{ x max{ x x y
又由于 i 是固定向量 i 的范数,所以,它与 x i , yi 是无关的,所以,当 yi x i 时,有:
( y1 , y2 , , yn ) ( x1 , x 2 , , x n )
所以 x 必为 x1 , x2 ,, xn 的连续函数
定理2 设 x

,
x 是Cn中定义的两种向量范数，
Re x , y
x, y
|| x || || y ||
x , x 2 Re x , y y , y
定理1 设 x 是 C n ( R n ) 中的向量 x x1 , x2 , , x n T的 向量范数,则 x 必为 x1 , x2 ,, xn 的连续函数
造标准正交基；
3, 理解正交子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的 概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质；
教学内容和基本要求
4, 理解向量范数的概念，知道常用向量范数的几何意义
及其性质；理解矩阵范数的概念，掌握算子范数，会求 常用的算子范数，并掌握矩阵范数与向量范数的相容性； 5, 理解谱半径的概念，掌握谱半径的相关性质；
2
n
其中 p 1, q 1 且 p=2， Cauchy-Schwarz不等式 （Minkowski不等式）：
1 1 1 p q
1 p
n n n ( ai bi ) ( ai ) ( 2bi )
i 1

i 1
ai bi 1 ai i i 1
定义
x

max xi
i
，试证， x

是Cn上的一个向量范数。
解答： 正定性显然成立。 对任意的常数k∈C，及任意的x∈Cn，有 该范数被称为∞-范数。
kx

max kxi k max xi k
i i
x

对任意的x，y∈Cn，有
x y

max xi yi
i i i
max xi max yi x
n
1 p
p
x
p
( xi )
i 1
n
1 p p
p≧1，可知在同一个线性空间 中，可以定义不同的向量范数。
例2
设C[a,b]是由 [a,b]上所有连续函数f(x)所构成的
集合,按照通常意义下的加法和数乘构成线性空间，如
下三种映射是该空间中常用的三种范数
f ( t ) 1 f ( t ) dt ,
x的范数，简称向量范数。
向量范数是定义在线性空间上的一个非负的实值函数，
它具有如下的性质：
(1)
0
1 x 1, || x || 0 x
(2)
(3)
x x
(4)
x y
x y
证明(4)：
x x y y x y y x y x y
另一方面，
y x ( y x) x y x x x y x y y x
1 p p
n
1 p p 2 2
1
n
ibi1 i 1 其中实数
1 p 2
p 1
。
向量空间中常用的范数 例 1：设向量 x [ x1 , x2 , , xn ]T，对任意的数
n
p 1
称:
x
p
( x i ) 为向量 x 的 p 范数。
i 1
1 p p
，试证， x
1
是Cn上的一
个向量范数。 解答： 正定性显然成立。 对任意的常数k∈C，及任意的x∈Cn，有 该范数被称为1-范数。即向量的长
kx
1
kx1 kx2 ... kxn 度只是沿各坐标方向的直线度量。 k ( x1 x2 ... xn ) k x
1
对任意的x，y∈Cn，有
证明: 设Cn中的一组基为 T T T 1 1, 0, , 0 , 2 0,1, , 0 , , n 0, 0, ,1 则对任意的 x , y C n 可以表示成:
x x1 1 x 2 2 x n n y y1 1 y2 2 yn n
x ( x1 , x2 ,, xn )
于是有:
x 是关于其分量 x1 , x2 ,, xn 的实值函数,记
( y1 , y2 , , yn ) ( x1 , x2 , , xn ) y x y x
( y1 x1 ) 1 ( y2 x2 ) 2 ( yn xn ) n y1 x1 1 y2 x2 2 yn xn n
证明:只需验证(1)正定性,(2)齐次性,(3)三角不等式 设 x , y C ( R ), x x1 , x2 , xn , y y1 , y2 , yn
n n T T
(1) 正定性显然。 (2) 对任意的常数 k C ( R),由实值函数的定义:
所以 x

x2 n x
x y
1
x1 y1 x2 y2 ... xn yn ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ... ( xn yn ) ( x1 x2 ... xn ) ( y1 y2 ... yn ) x
1
y
1
例5 设 x x1 , x2 , ..., xn T 是向量空间Cn上的任一向量，
2.5.1 向量范数的概念与性质
定义1 设V是数域F(R或C)上的线性空间，实值函 数 :V R 称为向量范数，是指对于任意
x 0 ，且 x 0 x，y∈V，满足下列性质： x 0 正定性
齐次性
kx k x
三角形不等式
x y x y
x 是V中向量
空间V称为赋范线性空间，
x y
x y
2
x y2 2
2
x
x1
x1 y1 2
22
2
2
y
x2
2
2 x
2
x 2 y2
2
2
2
x
1
y2
2y
... xn 2
y
2 ... yn

2
2 y
2
2 x n yn ...
2
2
而
x y
2 2
x y, x y
x 1 xi n max xi n x
i 1 n
x 1 max x i x
1 i n

所以 1 ,
2 2

等价
(2)
x 2 xi n max xi n x
2 2 i 1
n

x 2 max xi x