x v 1
v
例3 证明由n维向量的1-范数， ∞-范数和2-范数
所诱导的算子范数分别是(设A=(aij)n×n)
n
(1)
A
1

max j
i 1
aij
为从属于向量1 – 范数的矩阵范数
列模和之最大者：列和范数
n
(2)
A


max i
j 1
x
F
2
因此，可以用||A||F来刻画变换A 的结果。
对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵 范数？
任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？
从属于向量范数的矩阵范数
定理1 给定C n 上的向量范数 v ，ACnn 定义
Ax A max v
x x v
则
是Cnn上与向量范数
aij
2
2

与向量范数
证明：设 A (aij ) C n，n x 1,2 , ,n T C n
Ax 2
n i 1
a n
2
k 1 ik k

n(
i 1
n k 1
aikk
)2

n (
i 1
a n
k 1 ik
k )2

n [(
i 1
n k 1
aik
2 )(
n k 1
k
2
)]

n i 1
a n
2
k 1 ik
n
2
k1 k
A x
F
2
||A||F 与 ||x||2 相容的性质反映了 ||A||F 是像 Ax 的2-范 数 ||Ax||2 与原像 x 的2-范数之比的最大值，即
Ax
2 A
定理2: 设 v 是 C n(Rn ) 上的向量范数,则
(1) (2)
A max Ax
x v 1
v
A max Ax
x v 1
v
令
y y
x x 1 v
都是由 诱导v 出的算子范数
v
证(1)
A max
Ay v max
Ay
max A y
y0 y
y0 y
y0
v
v
x0
x
x0 Bx
x
v
v
v
|| A(Bx) || || Bx ||
max
max
AB
Bx0 || Bx || x0 || x ||
即||A||满足相容性。
再证||A||与|| x ||v的相容性。
Ax Ax
A max v v
x0 x
x
v
v
Ax A x
v
v
由向量范数诱导的矩阵的算子范数还有另外几个不 同的计算公式。
矩阵论教程A
哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
课程要求
作业要求
书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取
使用教材
《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012 其他辅导类参考书（自选） 矩阵论网站 /
例1
证明矩阵范数 A
n

n
x 1
xi
m1
是相容的。i1
n j1
aij
与向量范数
i 1
证明：设 A (aij ) C n，n x 1,2 , ,n T C n
Ax 1
n i 1
a n
k 1 ik k

n (
i 1
a n
k 1 ik
k)

n [(
i 1
n k 1
aik
)(
n k 1
k
)]
(
n i 1
n k 1
aik
)(
n k 1
k
)
A x
m1
1
例2
1
证x 明2 矩 in阵1 x范i 2 数12 是A相m容2 的 i。n1
j
n 1
x0 x v
即||A||满足正定性；另外，显然||A||=0当且仅当A=0。
(2) 对任意的常数k∈C，
kAx
Ax
kA max
v k max v k A
x0 x
x0 x
v
v
即||A||满足齐次性。
(3) 对任意的方阵A，B∈Cn×n，
(A B)x
A B max
v
x0
x
v
Ax Bx
max( v v )
x0 x
x
v
v
Ax
Bx
max v max v A B
x0 x
x0 x
v
v
即||A||满足三角不等式。 上述定义的实值函数||A||
(4) 对任意的方阵A，B∈C是n×矩n，阵A的范数。
ABx
A(Bx) Bx
AB max(
v ) max
第二章 内积空间与赋范线性空间
1
欧氏空间与酉 空 间
2 标准正交基与向量的正交化
3
正交子空间
4 酉(正交)变换与正交投影
授课预计
5
向量范数与矩阵范数
(10学时)
6 向量范数与矩阵范数的相容性
教学内容和基本要求
1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念；
2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构 造标准正交基；
上的向量范数，由于 Ax 仍是C n(Rn )上的向量，
所以： Ax A x
定义1 设
A 是C nn (Rnn )上的矩阵范数，x 是 C n (Rn )上


的向量范数。如果对任意的 A C nn (Rnn ), x C n (Rn )
都有： Ax A x 则称矩阵范数 A 与向量范数 x 为由向量范数 导出的算子范数或从属于向 v
量范数 的矩阵范数 v
定理1表明，由给定的向量范数按照上式定义的实 值函数是一种矩阵范数，它与已给的向量范数是 相容的。
证明 (1) 当A为非零矩阵时，一定可以找到非零向量
x ，使 Ax≠0 ，从而有
Ax A max v 0
y
v
vv
vv
max{ Ax : x 1}
v
v
(2)
显然
max Ax max Ax
x v 1
v
x v 1
v
由(1)可知，
A max Ax
x v 1
v
Ax
Ax
max Ax max v max v A
x v 1
v
x x v 1
v
x0 x v
故有，
max Ax A
3, 理解正交子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的 概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质；
§2.6 向量范数与矩阵范数的相容性
在矩阵范数中,相容性 AB A B 尤为重要，那么
矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？ 若 A 是 C nn (Rnn )上的矩阵范数， x 是C n (Rn )