§2.3 幂函数2学习目标1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数y=x,y=x,1123 y=x,y =,y=x的图象,掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大x小(重点).预习教材P77-P78,完成下面问题:知识点1 幂函数的概念α一般地,函数y=x叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.【预习评价】(正确的打“√”,错误的打“×”) 4-(1)函数y=x是幂函数.( ) 5x-(2)函数y=2是幂函数.( ) 12 (3)函数y=-x是幂函数.( ) 45 -提示(1)√ 函数y=x符合幂函数的定义,所以是幂函数;x-(2)× 幂函数中自变量x是底数,而不是指数,所以y=2不是幂函数; 12α (3)× 幂函数中x的系数必须为1,所以y=-x不是幂函数.知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象:(2)幂函数的性质:1231-幂函数 y=x y=x y=x y=x 2 y=x (-∞,0)∪定义域 [0,+∞) R R R (0,+∞) *0,+∞) 值域 [0,+∞) {y|y∈R,且y≠0} R R 偶奇奇偶性奇非奇非偶奇 x∈[0,+∞),增增单调性增增 x∈(0,+∞),减x∈(-∞,0],减x∈(-∞,0),减公共点都经过点(1,1) 【预习评价】5 3 (1)设函数f(x)=x,则f(x)是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数33--(2)3.17与3.71的大小关系为________.解析(1)易知f(x)的定义域为R,又f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数.13-(2)易知f(x)=x=在(0,+∞)上是减函数,又 3.17<3.71,所以f(3.17)>f(3.71),即3.173x33-->3.71. 33--答案(1)A (2)3.17>3.71 题型一幂函数的概念222-【例1】(1)在函数y=x,y=2x,y=(x+1),y=3x中,幂函数的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2m(2)若f(x)=(m-4m-4)x是幂函数,则m=________. 2-解析(1)根据幂函数定义可知,只有y=x是幂函数,所以选B.22(2)因为f(x)是幂函数,所以m-4m-4=1,即m-4m-5=0,解得m=5或m=-1. 答案(1)B (2)5或-1 规律方法判断函数为幂函数的方法α(1)只有形如y=x(其中α为任意实数,x为自变量)的函数才是幂函数,否则就不是幂函数.α(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=x(α为常数)的形式,函数的解α析式为一个幂的形式,且:①指数为常数,②底数为自变量,③底数系数为1.形如y=(3x),ααy=2x,y=x+5…形式的函数都不是幂函数.反过来,若一个函数为幂函数,则该函数也必具有这一形式. 1 【训练1】若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=3f(2),则f的值等于________. 2ααα解析设f(x)=x,因为f(4)=3f(2),∴4=3×2,解得:α=log3,2232111 ∴f=log3=. 21答案3题型二幂函数的图象及应用 1n【例2】 (1)如图所示,图中的曲线是幂函数y=x在第一象限的图象,已知n取±2,±2四个值,则相应于C,C,C,C的n依次为( ) 1234 1111A.-2,-,,2 B.2,,-,-2 22221111 D.2,C.-,-2,2,,-2,-22221 -2,-分别在幂函数f(x),(2)点(2,2)与点g(x)的图象上,问当x为何值时,分别有: 2①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x)<g(x).nn(1)解析根据幂函数y=x的性质,在第一象限内的图象当n>0时,n越大,y =x递增1速度越快,故C的n=2,C的n=;当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线C的n=12321-,曲线C的n =-2,故选B.42答案B 1αβαβ2(2)解设f(x)=x,g(x)=x.∵(2)=2,(-2)=-,∴α=2,β=-1,∴f(x)=x,g(x)21-=x.分别作出它们的图象,如图所示.由图象知:①当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)>g(x);②当x=1时,f(x)=g(x);③当x∈(0,1)时,f(x)<g(x).规律方法解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于1213 -y=x或y=x或y=x)来判断.m n* 【训练2】如图是函数y=x (m,n∈N,m,n互质)的图象,则( ) mA.m,n是奇数,且<1 nmB.m是偶数,n是奇数,且>1 nmC.m是偶数,n是奇数,且<1 nmD.m 是奇数,n是偶数,且>1 n m n解析由图象可知y=x是偶函数,而m,n是互质的,故m是偶数,n是奇数,又当x m m n ∈(1,+∞)时,y=x的图象在y=x的图象下方,故<1. n答案C 典例迁移题型三利用幂函数的性质比较大小【例3】比较0.30.311--下列各组数中两个数的大小:2123--与. (1)与;(2)53350.3解(1)因为幂函数y=x0.30.3又>,所以>.在(0,+∞)上是单调递增的,212153531-(2)因为幂函数y=x在(-∞,0)上是单调递减的,2323 11---->. 又-<-,所以 353521 0.30.3-【迁移1】(变换条件)若将例1(1)中的两53如何?数换为“与”,则二者的大小关系1 0.30.30.3-解因为=3,而y=x在(0,+∞)上是单调递增的, 32212 0.30.30.30.3-又<3,所以<3.即<.553522 50.3 ”,则二者的大小关系【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“与0.3 5如何?22222 5x0.3 >,又因为函数y解因为y=在(0,+∞)为上减函数,又2155552222222 55550.3 0.3<,所以=x在(0,+∞)上为增函数,且>0.3,所以>0.3,所以>0.3.555规律方法比较幂值大小的三种基本方法【训与;(2)练3】比较下列各组数的大小:23 0.50.533(1)-3.14与-π; 353113 42 (3)与.解(1)∵y=x在[0,+∞)上是增函数且>,24230.5∵y=x是R上的增函3523 0.50.5∴>. 353(2)数,且 3.14<π,3333∴3.14<π,∴-3.14>-π. 3111142x (3)∵y=是R上的减函数,∴<.=x是[0,+∞)上的增函数,2221y4222 .∴>. ∴>2311131314242课堂达标1 4,,则f(2)=( ) 1.已知幂函数y=f(x)的图象经过点 212A.B.4 C. D.2 421111 2αα -4,,解析设幂函数为y=x,∵幂函数的图象经过点∴=4,∴α=-,∴y=x, 22212 2 -∴f(2)=2=,故选C. 2答案C 2.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是() 11523233 -A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x解析A中定义域值域都是R;B中定义域值域都是(0,+∞);C中定义域值域都是R;D中定义域为R,值域为[0,+∞).答案D 1 a-1,1,,33.设a∈,则使函数y=x的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是() 2 A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 1-解析当a=-1时,y=x的定义域是{x|x≠0},且为奇函数;当a=1时,函数y=x的11 2 定义域是R且为奇函数;当a=时,函数y=x的定义域是{x|x≥0},且为非奇非偶函数.当23a=3时,函数y=x的定义域是R且为奇函数.故选A.答案A 1 3 4.函数y=x的图象是() 1 3 解析显然代数表达式“-f(x)=f(-x)”,说明函数是奇函数.同时由当0<x<1时,x>x,1 3 当x>1时,x<x. 答案B 5.比较下列各组数的大小:7722π12 8833 -----(1)-8与-;(2)与.9367777711111 88888 -解(1)-8=-,函数y=x在88989771 88 -从而-8<-. (0,+∞)上为增函数,又>,则>.9222222ππ224333333 --------==,=.因为函数y=x在(0,+∞)上为减(2)33666函数,22π2π4 33 ----<. 又>,所以 3666课堂小结α1.幂函数y=x的底数是自变量,指数是常数,而指数函数正好相反,底数是常数,指数是自变量.2.幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.3.简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且当自变量为1时,函数值为1,即f(1)=1. (2)如果α>0,幂函数在[0,+∞)上有意义,且是增函数.(3)如果α<0,幂函数在x =0处无意义,在(0,+∞)上是减函数.§2.1指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算学习目标 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点).3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质(重点).预习教材P49-P53,完成下面问题:知识点1 根式1.n次方根n*(1)定义:一般地,如果x=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N. (2)个数:a>0 x>0 n n是奇数 x 仅有一个值,记为a a<0 x<0n a>0 x有两个值,且互为相反数,记为±a n是偶数a<0 x不存在 2.根式n(1)定义:式子a叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.a,n为奇数 nnnn*(2)性质:(a)=a,a=(其中n>1且n∈N). |a|,n为偶数 【预习评价】(正确的打“√”,错误的打“×”)()*nn(1)当n∈N时,都有意义.( ) -16(2)任意实数都有两个偶次方根,它们互为相反数.( ) nn (3)a=a.( ) ()nn提示(1)× 当n是偶数时,没有意义;-16(2)× 负数没有偶次方根;nn(3)× 当n为偶数,且a<0时,a=-a. 知识点2 指数幂及其运算性质 1.分数指数幂的意义m分正分数指数幂nnm* 规定:a=a(a>0,m,n∈N,且n>1) 数m11n* -指规定:a==(a>0,m,n∈N,且n>1) 负分数指数幂m n nm aa数0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义幂 2.有理数指数幂的运算性质rsrs+(1)aa=a(a>0,r,s∈Q).rsrs(2)(a)=a(a>0,r,s∈Q).rrr(3)(ab)=ab(a>0,b>0,r∈Q).3.无理数指数幂α一般地,无理数指数幂a(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.【预习评价】11 201 -2的结果为( ) 计算:(π-3)+3× 437A. B.22。