第五章 概率与概率分布5.1 写出下列随机试验的样本空间： （1）记录某班一次统计学测验的平均分数。

（2）某人骑自行车在公路上行驶，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。

（3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

解：（1）测验的平均分数为0至100分，故样本空间为{|0100}x x Ω=≤≤（2）遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数为0至∞，故样本空间为{0,1,,}Ω=∞（3）与（2）类似，到有10件正品为止，生产产品的总件数的样本空间为{10,11,,}Ω=∞5.2 某市有50%的住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。

解：设A = {订日报}，B = {订晚报}，C = {同时订两种报纸} 则P(C) = P(A ∩B) = P(A) + P(B) – P(A ∪B) 由题意可知：P(A) = 0.5，P(B) = 0.65，P(A ∪B) = 0.85 于是P(C) = 0.5+0.65 – 0.85 = 0.3即同时订两种报纸的住户百分比为30%。

5.3 设A 与B 是两个随机事件，已知A 与B 至少有一个发生的概率是1/3，A 发生且B 不发生的概率是1/9，求B 发生的概率。

解：由题意可知，P(A ∪B) = 1/3，()1/9P A B =。

因为()()()()P A B P A P B P A B =+-,而()()()P A B P A P A B =-，故有()()[()()]()()112399P B P A B P A P A B P A B P A B =--=-=-=5.4 设A 与B 是两个随机事件，已知P(A) = P(B) = 1/3，P(A|B) = 1/6，求()P A B 。

解：首先，我们有P(AB) = P(B)P(A|B)=(1/3)*(1/6)=1/18， 其次，()()1()(|)1()()()1()()()1()11/31/31/1811/3712P A B P A B P A B P A B P B P B P B P A P B P AB P B -===---+=---+=-=5.5 有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7。

在两批种子中各随机抽取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率。

（2）至少有一粒发芽的概率。

（3）恰有一粒发芽的概率。

解：设A = {甲种子发芽}，B = {甲种子发芽}。

由题意可知，P(A) = 0.8，P(B) = 0.7。

（1）记C={两粒种子都发芽}，因A 与B 独立， 故P(C) = P(A)P(B) = 0.8*0.7 = 0.56 （2）记D= {至少有一粒发芽}P(D) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.8+0.7-0.56 = 0.84 （3）记E = {恰有一粒发芽}则P(E) = P(D) – P(C) = 0.84 – 0.56 = 0.285.6 某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%，从产品中任取一件为一级品的概率是多少？解：显然，产品的一级品率为72%（96%*75%），故从产品中任取一件为一级品的概率是0.72。

5.7 某种品牌的电视机用到5000小时不坏的概率为3/4 ，用到10000小时不坏的概率为1/2。

现在又一台这种品牌的电视已经用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多少？解：记A = {5000小时不坏}，B = {10000小时不坏} P(B|A) = P(AB)/P(A) =P(B)/P(A) = (1/2)/(3/4) = 2/3 因为如B 发生，则A 一定发生，故P(AB) = P(B)5.8 某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%。

25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。

从该厂随机抽取一名职工，发现其年龄不到25岁，问他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各位多少？解：记A 1= {小学文化程度}，A 2= {初中文化程度}，A 3= {高中及高中以上文化程度}，B = {25岁以下}，由贝叶斯公式可得：111311()(|)(|)()(|)0.1*0.20.1*0.20.5*0.50.4*0.70.03636ii P A P B A P A B P A P B A ===++=∑即具有小学文化程度的概率为0.03636，同理，该职工具有初中文化程度的概率为0.4545（25/55），具有高中及高中以上文化程度的概率为0.5090（28/55）。

5.9 某厂有A ，B ，C ，D 四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，18。

已知这四个车间产品的次品率分别为0.10，0.05，0.20，0.15，问从该厂任意抽取一件产品，发现为次品，这件产品是由A ，B 车间生产的概率各为多少？解：记A 1= {A 车间产品}，A 2= {B 车间产品}，A 3= {C 车间产品}，A 4= {D 车间产品}，B = {次品}，由贝叶斯公式可得：111311()(|)(|)()(|)0.3*0.10.3*0.10.27*0.050.25*0.20.18*0.150.2489ii P A P B A P A B P A P B A ===+++=∑即该次品由A 车间生产的概率为0.2489。

同理，该产品由B 车间生产的概率为0.1120（0.0135/0.1205）。

5.10 考虑掷两枚硬币的试验。

令X 表示观察到正面的个数，试求X 的概率分布。

解：掷两枚硬币，共有4个基本事件，即{正，正}，{正，反}，{反，正}，以及{反，反}。

观察到的正面个数有0、1、2三个取值。

X 0 1 2 P (x) 1/41/21/45.11 某人花2元钱买彩票，他抽中100元奖的概率是0.1%，抽中10奖的概率是1%，抽中1元奖的概率是20%，假设各种奖不能同时抽中，试求：（1）此人收益的概率分布。

（2）此人收益的期望值。

解：（1）收益的概率分布为：X 100 10 1 P (x) 0.1%1%20%（2）31()()100*0.1%10*1%1*20%0.4i i i E X x p x ===++=∑ 5.12 设随机变量X 的概率密度为：233(),0x f x x θθ=<<（1）已知P(X>1) = 7/8，求θ的值。

（2）求X 的期望值和方差。

解：（1）12313(1)()31718P X f x dx x dx θθθθ>====-=⎰⎰故θ = 2。

（2）期望值2220240()()383321.5E X xf x dxx x dx x ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰方差为22022205432()(())()3( 1.5)83398544*3320x Var X x E X f x dxx x dx x x x ==-=-⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰5.13 一张考卷上有5道题，同时每道题列出4个备选答案，其中有一个答案是正确的。

某学生凭猜测能答对至少4道题的概率是多少？解：此题可视为5重贝努力试验，每次成功(此处为答对)的概率为0.25，答对的题数服从二项分布B(5, 0.25)。

故()44154(4)(1)5!*0.25*0.754!54!0.0146P X C p p ==-=-=凭猜测能答对至少4道题的概率是0.01465.14 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布：{},0,1,2,!kP X k e k k λλ-===问k 取何值时P{X = k}最大（λ为整数时）？ 解：记1{1}k p P X k +==+，显然有11k k p p k λ+=+，故λ为整数时，有0111p p p p p λλλ-+<<<=>>当k 取λ与λ-1两个值时，P{X = k}最大。

5.15 设X~N(3，4)，试求： （1）P{|X| > 2}。

（2）P{X > 3}。

解：（1） P{|X| > 2}= P{X>2}+ P{X<-2} =1- P{X<2}+ P{X<-2} =1-∅(-0.5)+ ∅(-2.5) =0.6976（2）P{X > 3} = 1 - P{X ≤ 3} = 1 - P{(X -3)/2≤ (3-3)/2} = 1 - ∅(0)=0.55.17 一工厂生产的电子管寿命X（以小时计算）服从期望值μ=160的正态分布，若要求P{120 < X < 200} > 0.08，允许标准差σ最大为多少？解：按照要求，有P{120 < X < 200}= ∅((200-160)/ σ) - ∅((120-160)/ σ)=∅(40/ σ) - ∅(-40/ σ)=[1 – 2*∅(-40/ σ)] > 0.08即∅(-40/ σ) < 0.46。

查分布表，∅(-0.10043) = 0.46即-40/ σ < -0.10043，σ<398.2874，允许标准差σ最大为398.2874。

5.18 一本书排版后一校时出现错误处数X服从正态分布N(200, 400)，求：（1）出现错误处数不超过230的概率。

（2）出现错误处数在190~210之间的概率。

解：（1）P{X < 230} = ∅((230-200)/20)= ∅(1.5)=0.9331即处数不超过230的概率为0.9331。

（2）P{190 < X < 210}=∅(0.5) - ∅(-0.5)=1-2*∅(-0.5)=0.3829错误处数在190~210之间的概率为0.3829。