§11-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1．对质心的动量矩
vi vC vir
LC MC mivi ri mivi
?
ri 'mivir
LC ri0 mivC ri mivir
z
ri mivC ( mir 'i ) vC 0
LC ri mivir
LO
(rC
r
')
JzC mi (x12 y12 )
Jz m i r2 m i (x2 y2) mi[x12 ( y1 d )2 ]
0 mi (x12 y12 ) 2d mi y1 d 2 mi
Jz JzC md 2
4．组合法
已知：杆长为 l质量为 m，1 圆盘半径为 ，d质量为 . m2
2g
运动方程为
s v0
3R
2g
r
sin
2g
3R
r
t
例11-11 已知：如图所示均质圆环半径为r，质量为m，其上焊接 刚杆OA，杆长为r，质量也为m。用手扶住圆环使其在OA 水平位置静止。设圆环与地面间为纯滚动。 求：放手瞬时，圆环的角加速度，地面的摩擦力及法向 约束力。
A O
解: 整体质心为C，其受力如图所示
解： (1) LO JO m1v1r1 m2v2r2
(JO m1r12 m2r22 )
MO (F (e) ) (m1r1 m2r2 )g
由
dLO dt
MO (F(e))
,得
d
dt
(m1r1 m2r2 )g JO m1r12 m2r22
FN
（2）由质心运动定理
FN (m m1 m2 )g (m m1 m2 )aCy
J
mlv0 (1 cos) l 2 r 2 2lr cos
v0
O
ve
v0 M
M0 y
l
x
§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
主动力: F1, F2,
, Fn
约束力: FN1 , FN2
d dt
(J
z)
M
z
(Fi
)
M
z
(FNi
)
M z (Fi )
即:
Jz
d
dt
M z (Fi )
为 。
求：圆盘对A、C、P三点的动量矩。
C
A
P
解：
点C为质心
LC
JC
mR 2 2
点P为瞬心
LP
J P
3mR 2 2
或
LP
mvC R
LC
mR 2
1 2
mR 2
3mR 2 2
C
A
P
LA mvC
2 2 R LC
2 mR 2 1 mR 2 (
2
2
2 1)mR 2
2
是否可以如下计算：
LA
J A
(JC
J z
l 0
l x2dx
ll 3
3
由 m ，l得l
Jz
1 ml2 3
（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量
J z mi R2 R2 mi mR2
（3）均质圆板对中心轴的转动惯量
mi 2π ri dri A
式中：
A
m π R2
JO
R
(2π
0
r Adr
r2)
2π
A
R4 4
或
JO
1 2
rC Fie ri Fie
dLC
dt
r 'i Fie
dLC dt
MC (Fie )
z
－－质点系相对于质心的动量矩定理
质点系相对于质心的动量矩对
O
时间的导数，等于作用于质点系的
外力对质心的主矩.
x
z'
rC
x'
C ri
ri '
mi
y
y'
例11-8
已知：均质圆盘质量为m，半径为R，沿地面纯滚动，角速度
Jz
1 2
π l(R14
R24 )
1 2
π l(R12
R22 )(R12
R22 )
由 π l(R12 ，R22得) m
Jz
1 2
m(
R12
R22 )
5．实验法 思考：如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量？
将曲柄悬挂在轴 O上，作微幅摆动.
由 T 2 J
mgl
其中 m,已l 知, 可T测得，从而求得 . J
)
d dt
MO
(mv )
MO
(F)
投影式:
质点对某定点的动量矩对时间的
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
)
d dt
M
y
(mv
)
M
y
(F
)
一阶导数,等于作用力对同一点的矩.
－－质点的动量矩定理
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
2.质点系的动量矩定理
d dt
MO
(mivi
)
MO
(Fi(i) )
MO
( Fi ( e )
代数量,从 z 轴正向看, 逆时针为正,顺时针为负.
2．质点 (mivi ) i 1
对轴的动量矩
n
Lz M z (mivi ) i 1
即 LO Lxi Ly j Lzk
二者关系
[LO ]z Lz
（1） 刚体平移 LO MO (mvC ) Lz Mz (mvC )
建立平面运动微分方程
2maCx Fs
r
4 C
O
A
2mg
2maCy 2mg FN
FS
JC
FN
r 4
Fr
FN
(a)
其中：
JC
mr 2 12
m( r ) 2 4
mr 2
m( r ) 2 4
29 24
mr 2
由求加速度基点法有
aC
aO
acno
acto
投影到水平和铅直两个方向
aCx aO r
)
0
d dt
MO
(mivi
)
MO
( Fi (i )
)
MO
(Fi(e) )
d dt
MO
(mivi
)
d dt
MO
(mivi
)
dLO dt
dLO dt
M O (Fi(e) )
质点系对某定点O的动量矩对
投影式:
dLx dt
M x (Fi(e) )
dLy dt
M y (Fi(e) )
dLz dt
例11-3
已知：两小球质量皆为 m,初始角速度 。0
求：剪断绳后, 角时的 .
解： 0 时,
Lz1 2ma0a 2ma20
0 时,
Lz2 2m(a l sin )2
Lz1 Lz2
a 2 0
(a l sin )2
例11－4
已知：质点质量m，速度 v0 为常值，r，l，圆盘的转动惯
mC2
M
Fr
aC r
aC m
Mr
C2 r 2
,
F
M
r 2 C2
,
r
F maC , FN mg
纯滚动的条件： F fsFN
即
M
fsmg
r2
C2
r
例11-10
已知：均质圆轮半径为r 质量为m ，受到轻微扰动后，
在半径为R 的圆弧上往复滚动，如图所示.设表面足够
粗糙，使圆轮在滚动时无滑动. 求:质心C 的运动规律.
mivi
O
rC mmvCivi r 'LCmivi ) x
z'
rC
x'
C ri
ri '
mi
y
y'
LO rC mvC LC
2 相对质心的动量矩定理
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie
0 ddvrtCC
mvC
rC
d dt
mFiv(eC)
dLC dt
M z (Fi(e) )
时间的导数,等于作用于质点系的 外力对于同一点的矩的矢量和.
问题：内力能否改变质 点系的动量矩？
－－质点系的动量矩定理
3．动量矩守恒定律
若 MO (F (e) ) 0 则 LO常 矢量, 若 M z (F (e)则) 0常量。Lz
面积速度定理： 质点在有心力作用下其面积速度守恒.
第十一章 动量矩定理
问题的引出
C
p mvC 0
如何描述绕转轴的转动？
§11-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
MO (mv)
mv
M z (mv)
r
[MO (mv)]z Mz (mv)
对点 O 的动量矩
MO (mv) r mv 对 z 轴的动量矩
M z (mv) MO (mv)xy
, M1, M 2 。
求：1
。
解：
J11 M1 FtR1
J 2 2 Ft R2 M 2
因
Ft
Ft
，
1 2
i12
R2 R1
，得
1
M1 J1
M2
i12 J2 i122
§11-4 刚体对轴的转动惯量
n
J z mi ri2 i 1
1. 简单形状物体的转动惯量计算