yx第十一章 动量矩定理 习题解[习题11-1] 刚体作平面运动。

已知运动方程为：23t x C =，24t y C =，321t =ϕ，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。

设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。

解：)(1223|22m x t C =⨯== )(1624|22m y t C =⨯==t t dtddt dx v C Cx6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =⨯==t t dtddt dy v C Cy8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =⨯==2323)21(t t dt d dt d ===ϕω )/(6223|22s rad t =⨯==ω→→→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω →→-+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2ωρ→=→⨯-⨯+⨯⨯=k L t O ]1612121665.0[10|22→=→=k L t O 15|2 )/(2s m kg ⋅，→k 是z 轴正向的单位向量。

[习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。

解：gPl l g P J ABz 33122,=⋅⋅=平动)(a O 转动绕定轴C )(b 转动绕定轴1 )(Oc 1O 在圆弧上作纯滚动)(d gl R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=⋅+⋅⋅=圆盘ωω⋅+⋅=圆盘,,z AB z z J J Lω4)4(3[222g l R W g Pl L z ++=ω)4443(222gWRg Wl g Pl L z ++= ω)4333(222gWR g Wl g Pl L z ++=ω)433(22R gW l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。

解：)(a因为圆盘作平动，所以ωω211ml J L z O O ==解：)(b→→→→⨯+=p r L L C C O 1其中，质心C 的动量为0ωω2211mR J L Cz O == 解：)(cωω)21(2211ml mR J L z O O +==解：)(d因为圆盘作平面运动，所以：)(11→+=C Z O Cz O v m M J L ω→A v Bv )(2121l R mR mR L O +-=ωω ωω)21()21(2221l R mR m Rl R R L O -=--=[习题11-4] 均质直杆AB 长为l ，质量为m ，A 、B 两端分别沿铅垂和水平轨道滑动。

求该杆对质心C 和对固定点O 的动量矩C L 和O L （表示为ϕ和••ϕ的函数）。

解：(1) 求C Lϕcos l y A =ϕϕϕϕsin sin ••-=⋅-==l l dtdy v AAϕsin l x B =ϕϕϕϕcos cos ••=⋅==l l dtdx v BB ••===ϕϕϕϕωcos cos l l BI v B AB（逆时针，转向如图所示） )(→+=C C AB C C v m M J L ω 0+=AB C C J L ω•=ϕ2121ml L C→•→=k ml L C ϕ2121（2）求O Lϕϕϕcos 2cos 24cos 222⋅⋅⋅-+=ll l l OC2lOC =ϕϕϕcos 2cos 24cos 222⋅⋅⋅-+=ll l l IC2lIC = ϕsin 2lx C =••-=ϕϕ43122ml ml L O ϕϕcos 2•==l dt dx v C Cxϕϕcos 2)90sin(20ll y C =-=ϕϕsin 2•-==l dt dy v C Cy)(→+=C Oz AB Cz O v m M J L ωC Cy C Cx O x mv y mv ml L --=•ϕ2121ϕϕϕϕϕϕϕsin 2sin 2cos 2cos 21212l l m l l m ml L O ⋅⋅-⋅⋅-=•••ϕϕϕϕϕ22222sin 4cos 4121•••--=ml ml ml L O)sin (cos 41212222ϕϕϕϕ+-=••ml ml L O••-=ϕϕ412122ml ml L O•-=ϕ261ml L O→•→-=k ml L C ϕ261[习题11-5] 均质杆AB 长l 、重1P ，B 端刚连一重2P 的小球（小球可视为质点），杆上D 点连一刚度系数为k 的弹簧，使杆在水平位置保持平衡。

设给小球B 一微小初位移0δ后无初速释放，试求AB 杆的运动规律。

解：以AB 杆为研究对象，其受力如图所示。

质点系的动量矩为：ωω22l m J L Oz O +-=ωω22213l gPg l P L O --= 外力矩为：R yzl P lP l T F M D i O 2123)(--⋅=→ l P l P l k F M i O 21233)(--⋅=→δl P l P l kl F M i O 21233)(--⋅≈→ϕl P lP kl F M i O 21229)(--≈→ϕ 由动量矩定理得：)(→=i O OF M dtdLl P l P kl l g P g l P dt d 212222129)3(--=--ϕωω l P lP kl dt d l g P dt d g l P 2122221293++-=+ϕωω212129)3(P P kl dt d l g P g P ++-=+ϕωl gP g P P P kl dtd )3(292121+++-=ϕω l gP g P P P kl dtd )333(18181891822121+++-=ϕωg l P P P P kl dt d 3)3(18)1892(2121+++-=ϕωlP P gP P kl dt d )3(6)1892(2121+++-=ϕω l gP P kg dtd 23)3(32122++-=ϕϕ22023)3(32122=-++l gP P kg dtd ϕϕ 令：)3(32120P P kg+=ω，则上式变为：lg 2320=+••ϕωϕ 通解为：)sin(0αωϕ+=t A0)0sin(|00=+⨯==αωϕA t 0sin =α[习题11-6] 两个重物A 、B 各重1P 、2P ，分别系在两条绳上，此两绳又分别围绕半径为1r 、2r 的鼓轮上，重物受重力影响而运动。

求鼓轮的角加速度α。

鼓轮和绳的质量均略去不计。

解：质点系的动量矩为：222111r v m r v m J L Oz O ++=ω ω)(222211r m r m J L Oz O ++=外力对O 点之矩为：22110)(r P r P F M i -=→由动量矩定理可知：)(→=i O OF M dtdL 2211222211])[(r P r P r m r m J dtdOz -=++ω 2211222211)(r P r P dtd r m r m J Oz -=++ω2211222211)(r P r P r m r m J Oz -=++α2222112211r m r m J r P r P oz++-=αOxF OyA22221122211021r g P r g P R r P r P ++⨯⨯-=αg r P r P r P r P 2222112211+-=α[习题11-7] 一倒置的摆由两根相同的弹簧支持。

设摆轴圆球与直杆组成，球重W ，半径为r ，杆重不计。

弹簧的刚度系数为k 。

问当摆从平衡位置向左或向右有一微小偏移后，是否振动？写出能发和振动的条件。

解：质点系的受力如图所示。

ω)21(22l gWr g W L O +⋅=ϕϕtan cos 2)(Wl b F F M A i O +-=→ϕϕWl b kb F M i O +-≈→)(2)( ϕ)2()(2kb Wl F M i O -=→由动量矩定理得：ϕω)2(])21[(222kb Wl l g W r g W dt d -=+⋅ ϕω)2(2)2(222kb Wl dtd g W l r -=+ϕϕW l r g kb Wl dt d )2()2(222222+-= 0)2()2(222222=+-+ϕϕW l r gWl kb dt d 令Wl r g Wl kb )2()2(222220+-=ω，则： 020=+••ϕωϕ上式的通解为：)sin(0αωϕ+=t A能发出振动的条件是：00>ω，即：0])2()2(2[21222>+-Wl r g Wl kb ，也就是：022>-Wl kb22bWlk >[习题11-8] 卷扬机的B 、C 轮半径分别为R 、r ，对水平转动轴的转动惯量为1J 、2J ，物体重P 。

设在轮C 上作用一常力矩M ，试求物体A 上升的加速度。

解：以轮B 为研究对象，应用动量矩定理得：)(→=i B BF M dtdL TR PR vR g PJ dt d -=--)(1ω R P T R dt dv g P dt d J )(1-=+ω R P T a gPRJ )(1-=+α 221)(R P T a gPR R J -=+α221)(R P T a gPR a J -=+ (1)以轮C 为研究对象，应用动量矩定理得：)(→=i C CF M dtdL r T M J dtd'22)(-=ω r T M dtd J '22-=ω r T M J '22-=α 2'22r T Mr r J -=α22Tr Mr a J -=22raJ Mr T -=………(2) (2) 代入（1）得：221)(R P T a g PR a J -=+22221)()(R P r a J Mr a g PR J --=+ 2222221)(PR a r R J r MR a g PR J --=+2222221)(PR r MR a rR J g PR J -=++gr r PR g R J r J r r PR r MR g PR J r R J PR r MR a 222222122222222122)(++-=++-= 2222212)(Pr)(rPR g R J r J rgR M a ++-=。