统计学复习笔记第七章参数估计一、思考题1．解释估计量和估计值在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。
估计量也是随机变量。
如样本均值，样本比例、样本方差等。
根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。
2．简述评价估计量好坏的标准（1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。
（2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。
对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。
（3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。
3．怎样理解置信区间在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。
置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。
有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。
因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。
在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。
这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。
4．解释95%的置信区间的含义是什么置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量（是随机的）覆盖总体参数的概率。
也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。
不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以的概率覆盖总体参数。
5．简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。
1. 估计总体均值时样本量n 为（z 2 ）2 2其中： E znn E22 其中： E z 2 n2. 样本量n 与置信水平1- α、总体方差、估计误差E之间的关系为与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所x 需要的样本量越大； 与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大； 与与总体方差成正比， 样本量与估计误差的平方成反比，即可以接 受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。
二、 练习题1． 从一个标准差为 5 的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量 为 40 的样本，样本均值为 25。
1) 样本均值的抽样标准差等于多少？2) 在 95%的置信水平下，估计误差是多少？解： 1 ) 已知 σ = 5 ， n = 40 x ， = 25／√ 40 ≈2 ) 已知估计误差 E = ×5÷√ 40 ≈2． 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期 3 周 的时间里选取 49 名顾客组成了一个简单随机样本。
1) 假定总体标准差为 15 元，求样本均值的抽样标准误差。
2) 在 95%的置信水平下，求估计误差。
3) 如果样本均值为 120 元，求总体均值 μ的 95%的置信区间 。
解： 1)已知 σ = 15 ，n = 49xx= 15 ÷√49 =估计误差 E = ×15÷√ 49 ≈3) 已知x = 120∵ 置信区间为x ± E其置信区间= 120 ±3．从一个总体中随机抽取n =100 的随机样本，得到x=104560 ，假定总体标准差σ = 85414 ，试构建总体均值μ的95%的置信区间。
解：已知n =100，x =104560，σ = 85414 ，1- ＝95% ，由于是正态总体，且总体标准差已知。
总体均值在1- 置信水平下的置信区间为10x1z04256n0105.36 1.9±6×2585414÷√ 100105.36 3.92= 104560 101.44,109.±284．从总体中抽取一个n =100 的简单随机样本，得到x =81 ，s=12。
要求：1) 构建μ的90%的置信区间。
2) 构建μ的95%的置信区间。
3) 构建μ的99%的置信区间。
2 )已知解：由于是正态总体，但总体标准差未知。
总体均值在1- 置信水平下的置信区间公式为81 ±× 12÷√ 100 = 81 ±×1) 1- ＝90%，其置信区间为81 ±2) 1- ＝95% ，其置信区间为81 ±3) 1- ＝99%，其置信区间为81 ±5．利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。
1) x = 25，σ = ，n =60 ，置信水平为95%2) x =119，s = ，n =75 ，置信水平为98%3) x =，s = ，n =32 ，置信水平为90%1 ) 1- ＝95% ，其置信区间为：25±×÷√ 60= 25 ±2 ) 1- ＝98% ，则=, /2=, 1- /2=, 查标准正态分布表, 可知:其置信区间为: 119 ±×÷√ 75= 1193) 1- ＝90%，其置信区间为 : ±×÷√ 326． 利用下面的信息，构建总体均值 μ的置信区间：1) 总体服从正态分布，且已知 σ = 500 ，n = 15x ， =8900 ，置 信水平为 95%。
置信水平为 95%。
解：为大样本总体非正态分布，但 σ 已知。
则 1- ＝ 95%，。
其置信 区间公式为 x z 22105.36 1.96 10 n 25∴置信区间为： 8900±× 500÷√ 35=（ ）105.36 3.92101.44,109.28 3) 总体不服从正态分布，σ 未知， n = 35 x ， =8900 ，s =500 ，置信水平为 90%。
解：为大样本总体非正态分布，且 σ 未知， 1- ＝90%，其置信区间为： 8900 ±× 500÷√ 35=( 8761 9039)4) 总体不服从正态分布，σ 未知， n = 35 x ， =8900 ，s =500 ， 置信水平为 99%。
解：为大样本总体非正态分布，且 σ 未知， 1- ＝99%，。
其置信区间为： 8900±× 500÷√ 35=（ ）解： N=15，为小样本正态分布，但 已知。
则 1- 信区间公式为 x z 22 n∴置信区间为： 8900±× 500÷√ 15=（ , ） 105.36 ＝95%，。
其置10 1.96 252) 总体不服从正态分布，且已知 σ = 500 ， 105.36 101.44,109.28 n =35x ， =8900 ，7．某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500 名学生中采取重复抽样方法随机抽取36 人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）（略）。
求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90% 解：先求样本均值：=再求样本标准差：置信区间公式：8．从一个正态总体中随机抽取样本量为8 的样本，各样本值分别为：10，8，12，15，6，13，5，11。
求总体均值μ的95%置信区间。
解：本题为一个小样本正态分布，σ 未知。
先求样本均值：= 80 ÷8=10再求样本标准差：= √84/7 =于是, 的置信水平为的置信区间是已知，n = 8，则, α /2= ，查自由度为n-1 = 7 的分布表得临界值所以，置信区间为：10±×÷√ 7 9．某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16 个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离分别是：10，3，14，8，6，9，12，11，7，5，10，15，9，16，13，2。
假设总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的95%的置信区间。
解：小样本正态分布，σ 未知。
已知，n = 16 ，，则, α/2= ，查自由度为n-1 = 15 的分布表得临界值样本均值=150/16=再求样本标准差：= √15 ≈于是, 的置信水平为的置信区间是±×÷√ 1610．从一批零件是随机抽取36 个，测得其平均长度是，标准差是。
1) 求确定该种零件平均长度的95%的置信区间。
2) 在上面估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请解释。
解：1) 这是一个大样本分布。
已知N=36，=x，S =，1-α=，。
其置信区间为：±×÷√ 362) 中心极限定理论证：如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。
在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随机变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。
样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也趋近于正态分布，这为抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。
11．某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100 克，现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50 包进行检查，测得每包重量如下：（略）已知食品包重服从正态分布，要求：1）确定该种食品平均重量的95%的置信区间。
2）如果规定食品重量低于100克属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。
解： 1 ）本题为一个大样本正态分布，σ 未知。
已知N=50，μ= 100，1- α=，。
①每组组中值分别为97、99、101、103、105，即此50 包样本平均值= （97+99+101+103+105）/5 = 101②样本标准差为：= √{（97-101 ）2×2＋（99-101 ）2×3＋（101-101 ）2×34＋（103-101 ）2 ×7＋（105-101 ）2×4}÷（50-1）≈③其置信区间为：101±×÷√ 502 ）∵不合格包数（＜100 克）为2+3=5 包，5/50 = 10% （不合格率），即P = 90%。
∴ 该批食品合格率的95%置信区间为：= ±×√×÷ 50= ±×12．假设总体服从正态分布，利用下面的数据构建总体均值μ的99%的置信区间。
（略）解：样本均值样本标准差：尽管总体服从正态分布，但是样本n=25 是小样本，且总体标准差未知，应该用T 统计量估计。
1- α=，则α=, α/2= ，查自由度为n-1 = 24 的分布表得临界值的置信水平为的置信区间是,13．一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18 个员工，得到他们每周加班的时间数据如下（单位：小时）：（略）假定员工每周加班的时间服从正态分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。