数学综合题
一、考点分析 从近几年的中考来看，综合问题往往涉及的知识几乎涵盖了初中阶段所有内容，综合不同领域的知识，有时还涉及不同学科。
这类问题有代数综合题、几何综合题、代数几何综合题。
题目从过去的论证转向发现，猜想和探索。
综合问题是中考重点考查内容。
主要是综合考查学生分析问题、解决问题的能力。
这类问题考查方式灵活、内容丰富、手段多样，解决此类问题往往要用到较多的数学知识、数学思想、数学方法，要准确理解题意，综合应用题目中涉及的相关知识，应用恰当的数学方法。
通过猜测、合理综合，实现问题的解决。
二、题型
类型一 代数综合题
已知关于x 的方程--++=22x (2k 3)x k 10有两个不相等的实数根1x 、2x .
（1）求k 的取值范围;
（2）试说明1x <0，2x <0；
（3）若抛物线y=--++=22x (2k 3)x k 10与x 轴交于A 、B 两点，点,A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且OA+OB=2OA ·•OB-3,求k 的值。
【解析】根据题意可知， （1）由题意可知：△=[-（2k-3）]2-4（k 2+1）＞0，
即-12k+5＞0 ∴k ＜512
（2）∵ <>+=-⎧⎨=⎩12212x x 2k 3x 0
x k 0 ∴ x 1＜0，x 2＜0。
（3）依题意，不妨设A （x 1，0），B （x 2，0）．
∴ OA+OB=|x 1|+|x 2|=-（x 1+x 2）=-（2k-3），
OA•OB=|-x 1||x 2
|=x 1x 2=k 2+1，
∵ OA+OB=2OA•OB -3， ∴ -（2k-3）=2（k 2+1）-3，
解得k 1=1，k 2=-2．
∵ k ＜512
∴ k=-2． 类型二 几何综合题
如图，PQ 为圆O 的直径，点B 在线段PQ 的延长线上，OQ=QB=1，动点A 在圆O 的上半圆运动（含P 、Q 两点），以线段AB 为边向上作等边三角形ABC ．
（1）当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，求△ABC 的面积（图1）；
（2）设∠AOB=α，当线段AB 、与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；
（3）当线段AB 与圆O 有两个公共点A 、M 时，如果AO ⊥PM 于点N ，求CM 的长度（图3）．
【解析】 （1）连接OA ，过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，如图1所示．
∵ AB 与⊙O 相切于点A ， ∴ OA ⊥AB ． ∴ ∠OAB=90°．
∵ OQ=QB=1， ∴ OA=1． ∴ AB=
==．
∵ △ABC 是等边三角形， ∴ AC=AB=，∠CAB =60°． ∵ sin ∠HAB=HB AB
， ∴ HB=AB•sin∠HAB=×32=32
． ∴ S △ABC =12AC•BH=12××32
=334． ∴ △ABC 的面积为334
． （2）①当点A 与点Q 重合时， 线段AB 与圆O 只有一个公共点，此时α=0°；
②当线段A 1B 所在的直线与圆O 相切时，如图2所示，线段A 1B 与圆O 只有一个公共点， 此时OA 1⊥BA 1，OA 1=1，OB=2，
∴ cos ∠A 1OB=1A O OB =12
．∴ ∠A 1OB=60°． ∴当线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，
α的范围为：0°≤α≤60°．
（3）连接MQ ，如图3所示．∵ PQ 是⊙O 的直径，∴ ∠
PMQ=90°． ∵ OA ⊥PM ，∴ ∠PDO=90°．∴ ∠PDO=∠PMQ ．∴ △PDO
∽△PMQ ． ∴ ==PD DO PO PM MQ PQ
∵ PO=OQ=12PQ ．∴ PD=PM ，OD=MQ ． 同理：MQ=12AO ，BM=12
AB ． ∵ AO=1，∴ MQ=12．∴ OD=14
． ∵ ∠PDO=90°，PO=1，OD=
14， ∴ PD=154．∴PM=152．∴DM=154． ∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=34， ∴ AM=+22AD DM =+22315()()44
=62． ∵ △ABC 是等边三角形，∴ AC=AB=BC ，∠CAB=60°．
∵ BM=12
AB ，∴ AM=BM ．∴ CM ⊥AB ． ∵ AM=62，∴ BM=62
，AB=．∴ AC=． ∴ CM=-22AC AM =-226(6)()2
=322． ∴ CM 的长度为322
． 类型三 代数几何综合题
例3 如图，在平面直角坐标系中，已知A （8，0），B （0，6），⊙M 经过原点O 及点A 、B ．
（1）求⊙M 的半径及圆心M 的坐标；
（2）过点B 作⊙M 的切线l ，求直线l 的解析式；
（3）∠BOA 的平分线交AB 于点N ，交⊙M 于点E ，求点N 的坐标和线段OE 的
长．
【解析】（1）∵∠AOB=90°，∴ AB 为⊙M 的直径。
∵ A （8，0），B （0，6），∴OA=8，OB=6。
∴ 22AB OA OB 10=+=。
∴ ⊙M 的半径为5；圆心M 的坐标为（（4，3）。
（2）如图，设点B 作⊙M 的切线l 交x 轴于C ，
∵ BC 与⊙M 相切，AB 为直径，∴AB ⊥BC 。
∴ ∠ABC=90°，∴∠CBO+∠ABO=90°。
∵ ∠BAO+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBO 。
∴ Rt △ABO ∽Rt △BCO 。
∴ 3y x 4=，即 68OC 6=，解得9OC 2=。
∴ C 点坐标为（92
-，0）。
设直线BC 的解析式为y=kx+b ， 把B （0，6）、C 点（92
-，0）分别代入得 b 69k b 02=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得4k 3b 6
⎧=⎪⎨⎪=⎩。
∴ 直线l 的解析式为y=43
x+6。
（3）如图，作ND ⊥x 轴，连接AE ，
∵ ∠BOA 的平分线交AB 于点N ，∴ △NOD 为等腰直角三角形。
∴ ND=OD 。
∴ND ∥OB 。
∴ △ADN ∽△AOB 。
∴ ND ：OB=AD ：AO ，∴ ND ：6=（8﹣ND ）：8，解得ND=247。
∴ OD=247
，ON=2ND=2427。
∴ N 点坐标为（247，247
）。
∵ △ADN ∽△AOB ，∴ ND ：OB=AN ：AB ，即
247：6=AN ：10，解得AN=407。
∴ BN=10﹣407=307。
∵ ∠OBA=OEA ，∠BOE=∠BAE ，∴ △BON ∽△EAN 。
∴ BN ：NE=ON ：AN ，即307：NE=2427：407
，解得NE=2527。
∴ OE=ON+NE=2427+2527
=72。
三、课堂小练
1、如图，分别以直角△ABC 的斜边AB ，直角边AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边
△ACE ，F 为AB 的中点，DE 与AB 交于点G ，EF 与AC 交于点H ，∠ACB=90°，∠BAC=
30°．给出如下结论：
① EF ⊥AC ；② 四边形ADFE 为菱形；
③ AD=4AG；④ FH=1
4BD
其中正确结论的为（请将所有正确的序号都填上）．
2、如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，
速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜10
3）秒．解答如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．
3、如图，直线AB与x轴相交于点A（-4，0），与y轴相交于点B
（0，3），点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线 AB
向点B移动。
同时，将直线
3
y x
4
以每秒0.6个单位长度的速
度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为t（0<t<5）秒。
（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；
（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由。