高考立体几何大题及答案 1.（2009全国卷Ⅰ文）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，

2AD，2DCSD，点M在侧棱SC上，∠ABM=60。

（I）证明：M是侧棱SC的中点； 求二面角SAMB的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ文）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小

3.（2009浙江卷文）如图，DC平面ABC，//EBDC，22ACBCEBDC，120ACB，,PQ分别为,AEAB的中点．（I）证明：//PQ平面ACD；（II）求AD与平

面ABE所成角的正弦值．

A C

B

A1

B1

C1

D E 4.（2009北京卷文）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PDABCD底面，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AECPDB平面；（Ⅱ）当2PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

5.（2009江苏卷）如图，在直三棱柱111ABCABC中，E、F分别是1AB、1AC的中点，点D在11BC上，11ADBC。 求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面1AFD平面11BBCC. 6.（2009安徽卷文）如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC， 和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD

垂直，（Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD：（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面体ABCDEF的体积。

7.（2009江西卷文）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD，2AB．以BD的中点O为球心、BD为直径的球

面交PD于点M． （1）求证：平面ABM⊥平面PCD； （2）求直线PC与平面ABM所成的角； （3）求点O到平面ABM的距离．

8.（2009四川卷文）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，,,45ABAEFAFEAEF

（I）求证：EFBCE平面； （II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证： PM∥BCE平面 （III）求二面角FBDA的大小。

OAPBC

MD9.（2009湖北卷文）如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1). (Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE: (Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。

10.（2009湖南卷文）如图3，在正三棱柱111ABCABC中，AB=4, 17AA,点D是BC的中点，点E在AC上，且DE1AE.（Ⅰ）证明：平面1ADE平面11ACCA;（Ⅱ）求直线AD和平面1ADE所成角的正弦值。

11.（2009辽宁卷文）如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（I）若CD＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN的长； （II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 12.（2009四川卷文）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，,,45ABAEFAFEAEF

（I）求证：EFBCE平面； （II）设线段CD、AE的中点分别为P、M， 求证： PM∥BCE平面 （III）求二面角FBDA的大小。

13.（2009陕西卷文）如图，直三棱柱111ABCABC中， AB=1，13ACAA，∠ABC=600. (Ⅰ)证明：1ABAC； （Ⅱ）求二面角A—1AC—B的大小。

14.（2009宁夏海南卷文）如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 （Ⅰ）证明：AB⊥PC （Ⅱ）若4PC，且平面PAC⊥平面PBC， 求三棱锥PABC体积。

C B

A

C1 B1 A1 15.（2009福建卷文）如图，平行四边形ABCD中，60DAB，2,4ABAD将 CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD

（I）求证：ABDE （Ⅱ）求三棱锥EABD的侧面积。

16.（2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，2BAD，2CDAD，四边形ABFE为平行四边形，FA平面ABCD，3,7FCED．求：

（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离； （Ⅱ）二面角FADE的平面角的正切值． 17.(2009年广东卷文)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图; （2）求该安全标识墩的体积 （3）证明:直线BD平面PEG

参考答案 1、【解析】（I）解法一：作MN∥SD交CD于N，作NEAB交AB于E， 连ME、NB，则MN面ABCD，MEAB,2NEAD 设MNx，则NCEBx, 在RTMEB中，60MBE3MEx。 在RTMNE中由222MENEMN2232xx 解得1x，从而12MNSD M为侧棱SC的中点M. 解法二:过M作CD的平行线.

（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。 过M作MJ∥CD交SD于J,作SHAJ交AJ于H,作HKAM交AM于K,则JM∥CD,JM面SAD,面SAD面MBA,SH面AMBSKH即为所求二面角的补

角. 法二：利用二面角的定义。在等边三角形ABM中过点B作BFAM交AM于点F，则点F为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证GFAM，则GFB即为所求二面角. 解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(SCBA。

S

A B

C D

M z

x y （Ⅰ）设)0,0)(,,0(babaM，则 )2,,0(),,2,2(),0,2,0(baSMbaBMBA，

)2,2,0(SC，由题得





SCSMBMBA//21,cos

，即







)2(22212)2(2)2(222babaa

解之个方程组得1,1ba即)1,1,0(M

所以M是侧棱SC的中点。 法2：设MCSM，则)12,12,2(),12,12,0(MBM 又oABMBAB60,),0,2,0( 故oABMBABMB60cos||||•，即 22)12()12(214

，解得1，

所以M是侧棱SC的中点。 （Ⅱ）由（Ⅰ）得)1,1,2(),1,1,0(MAM，又)2,0,2(AS，)0,2,0(AB， 设),,(),,,(22221111zyxnzyxn分别是平面SAM、MAB的法向量，则

••0011ASnMAn且





••0012ABnMAn

，即0220211111zxzyx且02022222yzyx

分别令221xx得2,0,1,12211zyyz，即 )2,0,2(),1,1,2(21nn，

∴3662202,cos21nn 二面角SAMB的大小36arccos。 2、解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF121BB，从而EFDA。 连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面1BCC，故AF⊥平面1BCC，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。 （Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..

设AC=2，则AG=23。又AB=2，BC=22，故AF=2。

由ABADAGBD得2AD=222.23AD，解得AD=2。 故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。 因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。 连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。 连接CH，则∠ECH为1BC与平面BCD所成的角。 因ADEF为正方形，AD=2，故EH=1，又EC=112BC=2， 所以∠ECH=300，即1BC与平面BCD所成的角为300. 解法二： （Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。