1.1.1 命题 学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．命题的定义与分类 (1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． (2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题． (3)分类

命题 真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句 思考1：(1)“x－1＝0”是命题吗？ (2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假． (2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题． 2．命题的结构 (1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？ [提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”． [基础自测] 1．思考辨析 (1)一个命题不是真命题就是假命题． ( ) (2)一个命题可以是感叹句． ( ) (3)x>5是命题． ( ) [解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②2>3； ③一个数不是正数就是负数；④x>2； ⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！ A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤ A [①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．] 3．下列命题中，真命题共有( ) 【导学号：97792000】 ①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0； ③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A [①、②、④是假命题，③是真命题．] [合 作 探 究·攻 重 难]

命题的判断 (1)下列语句为命题的是( ) A．x2－1＝0 B．2＋3＝8 C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树 (2)下列语句为命题的有________． ①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′. [解析] (1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假． (2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题． [答案] (1)B (2)①④ [规律方法] 判断一个语句是否是命题的二个关键点 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题 提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题. [跟踪训练] 1．判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数； (2)x2－3x＋2＝0； (3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0. (4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？ (5)一个数不是奇数就是偶数； (6)2030年6月1日上海会下雨． [解] (1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题． (2)不是命题，不能判断真假． (3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假． (4)疑问句，不是命题． (5)是命题，能判断真假． (6)不是命题，不能判断真假．

命题的构成 (1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p则q”的形式，则p是________，q是________. 【导学号：97792001】 (2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． ①函数y＝lg x是单调函数； ②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2； ③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0. [思路探究] 解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q的形式”． [解析] (1)命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”． [答案] 一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧． (2)①若函数是对数函数y＝lg x，则这个函数是单调函数． ②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2. ③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0. [规律方法] 1.若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中，如本例(2)②. 2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论． [跟踪训练] 2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)当1a>1b时，a(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行； (3)同弧所对的圆周角不相等．

[解] (1)若1a>1b，则a(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行； (3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．

命题的真假判断 [探究问题] 1．如何判断一个命题是真命题？ 提示：根据命题的条件，利用定义、定理、性质论证命题的正确性． 2．如何判断一个命题是假命题？ 提示：举出一个反例即可． 给定下列命题： ①若a>b，则2a>2b； ②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；

③直线x＝π2是函数y＝sin x的一条对称轴； ④在△ABC中，若AB→·BC→>0，则△ABC是钝角三角形． 其中为真命题的是________．

[思路探究] 命题――――――――→严格的逻辑推理真命题―――――→恰当的反例假命题 [解析] 对于①，根据函数f(x)＝2x的单调性知①为真命题． 对于②，若a＝1＋3，b＝1－3，则a＋b＝2不是无理数，因此②是假命题．

对于③，函数y＝sin x的对称轴方程为x＝π2＋kπ，k∈Z，故③为真命题．

对于④，因为AB→·BC→＝|AB→||BC→|cos(π－B)＝－|AB→||BC→|cosB>0，故得cosB<0，从而得B为钝角，所以④为真命题． [答案] ①③④ 母题探究：1.(变结论)本例中命题①变为“若a>b，则方程ax2－2bx＋a＝0无实根”，该命题是真命题还是假命题． [解] 若a＝1，b＝－5，满足a>b，但Δ＝4b2－4a2>0，方程有两个不相等的实根，因此该命题是假命题．

2．(变条件)本例中命题④变为“若AB→·BC→<0，则△ABC是锐角三角形”，该命题还是真命题吗？

[解] 不是真命题，AB→·BC→<0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．

[规律方法] 1.由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，且必居其一． 2．如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可． [当 堂 达 标·固 双 基] 1．下列语句不是命题的个数为( ) ①2<1；②x<1；③若x<1，则x<2；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数． A．0 B．1 C．2 D．3 B [语句①、③、④都能判断真假，是命题，语句②不能判断真假，不是命题．] 2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( ) A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直 C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是平行四边形 C [把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C.] 3．下列命题是真命题的为( ) 【导学号：97792002】

A．若a>b，则1a<1b B．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 C．若|x|D．若a＝b，则a＝b

C [对于A，若a＝1，b＝－2，则1a>1b，故A是假命题． 对于B，当a＝b＝0时，满足b2＝ac，但a，b，c不是等比数列，故B是假命题． 对于C，因为y>|x|≥0，则x2对于D，当a＝b＝－2时，a与b没有意义，故D是假命题．] 4．命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________．

(－∞，0)∪(0,1) [由题意知 a≠0Δ＝4－4a>0，解得a<1，且a≠0.] 5．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假． (1)末位数字是0的整数能被5整除； (2)偶函数的图象关于y轴对称； (3)菱形的对角线互相垂直. 【导学号：97792003】 [解] (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题． (2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称，为真命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．