解不等式知识点总结
一、知识点总结
（一）、不等式
1、定义：用不等号表示不等式关系的式子叫做不等式,
比如:100 2.9 3.1248a x y x ≤≥≥+<、、、、2
1
15
a
m
>≤、等.
例：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。
①32>-；②21x ≤；③21x -；④s vt =；⑤283m x <-；
⑥124x x ->-；⑦38x ≠；⑧5223x x -≈-+；⑨2
40x +>；⑩230x
π
+>。
解：①②⑤⑦⑨⑩是不等式，其余不是；③是多项式，④⑧是等式，⑥是分式
补充：列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如：
“正数(＞0)”， “负数（＜0）”， “非正数（≤0）”， “非负数（≥0）”， “超过(＞0)”， “不足（＜0）”， “至少（≥0）”， “至多（≤0）”， “不大于（≤0）”， “不小于（≥0）” 练习：1、用不等式表示： ⑴a 是正数： ；
⑵x 的平方是非负数： ； ⑶a 不大于b ： ； ⑷x
的
3
倍与－2
的差是负
数： ；
⑸长方形的长为x cm ，宽为10cm ，其面积不小于200cm 2
： 。
2、试判断2
37
a
a -+与32a -+的大小。
3、如果0a b +<，0b >，则, , , a b a b --的从打到小的排序是： 。
（二）、能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，比如:3是不等式2X ＜8的解，4和9不是不等式2X ＜8的解。
一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集. 求不等式解集的过程叫做解不等式。
如X ＜4就是不等式2X ＜8的解集
练习：1、不等式2-X ＞1的解集是（） A X ＞1 B X ＞-1 C X ＜1 D X ＜-1 2．x 取什么值时，代数式3x+7的值 （1）小于1？（2）不小于1？
2．求不等式3（x+1）≥5x －9的正整数解.
（三）．不等式的解集
1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集. 2．解与解集的联系
解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。
如1-≤x 或x <-1等。
x <-1
②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别）
4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。
（四）不等式的基本性质：
有时，为了更好的理解新旧知识之间的异同，便以表格形式将二者进行比较。
-0 1
比如：不等式b>
x<，一定会有0<a。
ax的解集是a b
练习：⑴用最确切的不等号填空：
①若3＜x，则x 3；②若-2＜x，则0 x+2；
③若－2a≥8，则a 4；④若x＞y，则m2 x m2 y。
⑵关于x的一元一次方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m的取值范围
是。
⑶如果0<<n m ，那么下列结论中错误的是（ ） A ．99-<-n m B. n
m ->- C.
m
n 1
1>
D.1>n
m （四）一元一次不等式的定义和解法： ⑴不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式。
其标准形式：ax+b ＜0或ax+b ≤0，ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)． ⑵解一元一次不等式的一般步骤：
例：13
1321≤---x x 解不等式： 解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （ （不要漏乘！每一项都得乘）
去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!）
移 项，得 23663-+≤-x x （移项要变号）
合并同类项，得 73≤-x （计算要正确）
系数化为1， 得 37-≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）
⑶根据实际问题列不等式并求解，主要有以下环节：
①审题，找出不等关系；②设未知数；③列出不等式；④求出不等式的解集； ⑤找出符合题意的值；⑥作答。
练习：⑴解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。
①4
12
33523+>--
x x ；
②3252132x x x -≤--
【例题】
例1．用不等式表示：
（1）a 的2倍与4的差是正数 （2）b
的2
1与c 的和是负数
（3）a 的绝对值是非负数 （4）y
与4的差不大于3
（5）x 的绝对值与1的和不小于 1
（6）a 是大于-1且不大于2的数
２.不等式基本性质：①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等符号的方向不变，即：如果c b c a c b c a b a ->-+>+>,,那么；②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正整，不等号的
方向不变，即：如果c
b
c a bc ac c b a >>>>,,0,那么并且；③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等
号的方向改变，即：如果c
b c a bc ac c b a <<<>,,0,那么并且. 例2．用“>”或“<”填空.
（1）41- 4
1
-
(2)
3
1）（- 2
1）（- （3）若a a -<则,0 0 （4）,b a >要使bc ac < （5）若)2()2(2,2+-+>-<b a ，b a 则 0.
（6）55
3+-a 25
3
+-a （7）47--x 47--y ，其中y x >
例3．根据不等式的性质，将下列不等式化为a x a x <>或的形式.
（1）23-<+x （2）131
>x
（3）467->x x （4）523>--x
3.不等式的解集：一般地说，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式解的集合，称为这个不等式的解集. 例4．下列说法对不对？如果不对，请说明原因： （1）5=x 是不等式163<x 的一个解 （2）5=x 是不等式163<x 的解集 （3）不等式163<x 的解集是5<x （4）不等式163<x 的解集是3
16<x 例5．将数轴上x 的范围用不等式表示（如下图所示）
（1） （2）
3 （4）
-2 -1 0 1 2 · -2 -1 0 1 2
）
例6．将下列不等式的解集在数轴上表示出来：（1）
3
2
-
<
x（2）3>x
（3）2
1<
≤
-x（4）3
2<
<
-x
例7．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：
（1）13
4
1
2+
<
-x
x（2）)2
1(3
)3
5(2x
x
x-
-
≤
+
例8．解下列不等式
（1）1
2
7
5
3
4
+
-
<
+x
x（2）2
)1
(3
1
3
1
2-
+
>
+x
x
【课堂练习】
1．用不等式表示（5分钟）
（1）x 与-3的差是正数
（2）x 与5的和小于8
（3）b 的2倍与43
的各是负数
（4）a 的4倍与8的差不大于2
（5）x 与4和的一半不小于3 （6）x 的2倍，是大于-2且不大于-2且不大于4的数.
2．用“<”,“=”，“>”号填空
（1）如果b a b +>则,0 a ； （2）如果0=b ，则b a + a ；
（3）如果0<b ，则b a + a ； （4）如果a>b,那么2+a 2+b
（5）如果a<b,那么1-a 1-b （6）如果a>b,那么a 4 b 4
（7）如果a>b,那么3a 3
b （8）如果a<b,那么a 2- b 2-
（9）如果a<b,那么9a - 9
b - 10）如果a>b,那么a b a z 则,2
1221+>- b 4．将数轴上x 的范围用不等式表示：
5．解下列不等式并在数轴上表示出来
（1）)1(413+≥-x x
（2）)12(4)2(5->-x x
（3）131-<+x x
（4）)23(6)1(3)1(2+-≥+--x x x
（5）4138)1(32-->++x x
（6）634321x x -
≥-
-2 -1 0 1 2 -3 · 3 （
（-2 -1 0 3 4 -3 · 5 （ 2 1 -4 · （。