不等式总结
一、不等式的主要性质：
(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>； d b c a d c b a +>+⇒>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,
bd ac d c b a >⇒>>>>0,0
(5)倒数法则：b
a a
b b a 110,<⇒
>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且
二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法
0>∆
0=∆
0<∆ 二次函数
c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
)
)((212x x x x a c
bx ax y --=++=
)
)((212x x x x a c bx ax y --=++=
c bx ax y ++=2
一元二次方程
()的根
002>=++a c bx ax
有两相异实根 )(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b x x 221-== 无实根
的解集)0(02>>++a c bx ax
{}21x x x x x
><或 ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≠a b x x 2
R
的解集
)0(02><++a c bx ax
{}21x x x x
<<
∅
∅
注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式
1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么
).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等
3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即
2
112a b a b
++（当a = b 时取等）
四、含有绝对值的不等式
1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离
2、则不等式：如果,0>a a x a x a
x -<><=>>或|| a x a x a
x -≤≥<=>≥或||
a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤||
3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，
||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；
当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈． 4、解含有绝对值不等式的主要方法：
①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；
②去掉绝对值的主要方法有：
（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．
五、其他常见不等式形式总结：
①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
()()0()
()
0()()0;0()0
()
()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ ②无理不等式：转化为有理不等式求解
()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭
⎪>⎩
定义域
⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0
)(0)()]
([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ⎪⎩⎪
⎨⎧<≥≥⇔<2
)]
([)(0
)(0)()()(x g x f x g x f x g x f
③指数不等式：转化为代数不等式
()()()()()(1)()();
(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b
>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>
④对数不等式：转化为代数不等式
()0()0log ()log ()(1)()0;
log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪
⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩
⎩
六、三角不等式： |b ||a ||b a ||b |-|a |+≤+≤
七、不等式证明的几种常用方法
比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。

八、数轴穿跟法: 奇穿，偶不穿
例题：不等式03
)4)(23(2
2≤+-+-x x x x 的解为（ ）
A ．－1<x ≤1或x ≥2
B ．x <－3或1≤x ≤2
C ．x =4或－3<x ≤1或x ≥2
D ．x =4或x <－3或1≤x ≤2
九、零点分段法
例题：求解不等式：|21||2|4x x ++->．
十、练习试题
1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）
A ．x y y x +
B ．4
522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+
2．若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271x y ++的最小值是（ ）
A ．．1+．6 D ．7 3．设0,0,1x y x y A x y
+>>=
++, 11x y
B x y =+++，则,A B 的大小关系是（ ） A ．A B = B ．A B <
C ．A B ≤
D ．A B >
4．函数46y x x =-+-的最小值为（ ） A ．2 B C ．4 D ．6 5．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）
A ．[2,1)[4,7)-
B ．(2,1](4,7]-
C ．(2,1][4,7)--
D ．(2,1][4,7)- 6．若0a b >>，则1
()
a b a b +
-的最小值是_____________。

7．若0,0,0a b m n >>>>，则
b a , a b , m a m b ++, n
b n a ++按由小到大的顺序排列为 8．已知,0x y >，且221x y +=，则x y +的最大值等于_____________。

9．设101010111111
2212221
A =
++++
++-，则A 与1的大小关系是_____________。

10．函数212
()3(0)f x x x x
=+>的最小值为_____________。

11．求证：221a b ab a b +≥++-。