三角函数及解三角形一、选择题：1．设α是锐角,223)4tan(,+=+απ则=αcos （ ）2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( A )A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里3．若函数)0(sin )(>=ωωx x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π上单调递增，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ上单调递减，则=ω( )A ．3B ．24．已知函数)(),0(cos sin 3)(x f y x x x f =>+=ωωω的图象与直线2=y 的两个相邻交点的距离等于,π则)(x f 的单调递增区间是（ ） A.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ B. Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,1211,125ππππ C. Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,6,3ππππ D.［Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,32,6ππππ5．圆的半径为c b a ,,,4为该圆的内接三角形的三边，若,216=abc 则三角形的面积为（ ）2 2 C. 2 D.226．已知54cos -=α且,,2⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα等于( C ) A ．－17 B ．－7 C ．17D ．77．锐角三角形ABC 中c b a ,,,分别是三内角C B A ,,的对边设,2A B =则ab的取值范围是（ D ）A ．（﹣2，2）B ．（0，2）C ．（，2） D ．（，）8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是(D )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋29．函数)32sin(π+=x y 的图象经怎样平移后所得的图象关于点)0,12(π-成中心对称（ ） A.向左平移12π B.向左平移6π C.向右平移6π D.向右平移12π 10．如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线6π-=x 对称，那么=a （ ）A ． 3B ．-33 C ．-3 D ．33 11．函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如右图所表示，A 、B 分别为最高与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数的一条对称轴为(C )A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝1D ．x ＝212．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －ab ，则sin Csin A的值为( D ) A ．2 C ．2 3 D ．3 二、填空题： 13．已知,31)12sin(=+πα则=+)127cos(πα_____. 14．在ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3sin cos cos b A c A a C =+，则sin A =________15．将函数f (x )＝sin x ＋cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为3π4____．16．已知函数),,0)(sin(ππωϕωx x y ≤->+=的图象如图所示，则ϕ=________.17．在ABC ∆中,若,32,3,1π===C c b 则=a 。

18．在ABC∆中CB A ,,,所对的边分别为,,,c b a 且满足,12+=++c b a ,sin 2sin sin C B A =+则=c ； 若,3π=C 则=∆ABC S三、解答题：19．已知函数(=cos (cos 3)f x x x x ）+ . (Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)当π[0,]2x ∈ 时，求函数(f x ）的单调递减区间.解：(Ⅰ) 1(=sin(2)62f x x ）π++22||2T πππω===()f x 的最小正周期为π. ----------------------------------7分(Ⅱ)当3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 时，函数(f x ）单调递减,即()f x 的递减区间为：2[,],63k k k Z ππππ++∈, 由2[0,][,]263k k πππππ++=[,]62ππ+,k Z ∈所以(f x ）的递减区间为：[,]62ππ.------------------------------------13分20．向量m ＝(a ＋1，sin x )，n ＝(1,4cos(x ＋π6))，设函数g (x )＝m ·n (a ∈R ，且a为常数)．(1)若a 为任意实数，求g (x )的最小正周期；(2)若g (x )在[0，π3)上的最大值与最小值之和为7，求a 的值．[解析] g (x )＝m ·n ＝a ＋1＋4sin x cos(x ＋π6)＝3sin2x －2sin 2x ＋a ＋1＝3sin2x ＋cos2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋a (1)g (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ，T ＝π.(2)∵0≤x <π3，∴π6≤2x ＋π6<5π6当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，y max ＝2＋a .当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，y min ＝1＋a ，故a ＋1＋2＋a ＝7，即a ＝2.21.在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且bcos C =3acos B -ccos B（1）求cos B 的值；（2）若BA ·BC =2，b =22,求a 和c22．在ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,已知向量m →(),a c a b =+-,n →()sin ,sin sin B A C =-,且m →∥n →.（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的取值范围.23．在ABC ∆中C B A ,,,的对边分别为,,,c b a 已知,7,5==+c b a 且272cos 2sin 42=-+C B A . (1)求角C 的大小； (2)求ABC ∆的面积．[解析] (1)∵A ＋B ＋C ＝180°，4sin 2A ＋B2－cos2C ＝72.∴4cos 2C 2－cos2C ＝72，∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，∴4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴7＝(a ＋b )2－3ab ，解得ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.24．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝45，0<α<π3，求cos α的值．[解析] (1)由图象知A ＝1f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又|φ|<π2，∴φ＝π6故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝45，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，又0<α<π3，∴π6<α＋π6<π2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.又cos α＝[(α＋π6)－π6]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝33＋410.25．设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin cos b A B =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3sin 2sin b C A ==，，求a c ，的值．解：（Ⅰ）sin cos b A B =， ……………2分由正弦定理得sin sin cos B A A B =，在△ABC 中，sin 0A ≠，即tan B =(0)B π∈，， ……………4分 3πB ∴=． ……………6分 （Ⅱ）sin 2sin C A =，由正弦定理得2c a =， ……………8分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22942(2)cos 3πa a a a =+-⋅⋅， ……………10分解得a =2c a == ……………13分26．在△ABC 中，已知A ＝π4，cos B ＝255.(1)求cos C 的值；(2)若BC ＝25，D 为AB 的中点，求CD 的长．27．已知函数f (x )＝sin2x cos φ＋cos2x sin φ(|φ|<π2)，且函数y ＝f (2x ＋π4)的图象关于直线x ＝7π24对称．(1)求φ的值；(2)若π3<α<5π12，且f (α)＝45，求cos4α的值；(3)若0<θ<π8时，不等式f (θ)＋f (θ＋π4)<|m －4|恒成立，试求实数m 的取值范围．28．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，x ∈R 的最大值是1，最小正周期是2π，其图象经过点M (0,1)． (1)求f (x )的解析式；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且f (A )＝35，f (B )＝513，求f (C )的值．。