A1
,
A2
,
An
, An En
（8）
练习：
1.设1 (0,1,1,0,0),2 (1,1,0,1,0),3 (4,5,0,0,1). 求L(1, 2 ,3 )的一个标准正交基.
答案：
标准正交基为：
1
1 2
(0,1,1,0,0), 2

1 10
因为 m n,
所以必有向量 不能被 1,2, ,m 线性表出，
作向量 m1 k11 k22 kmm ( 0)
ki R 待定．
证明续： 从正交向量组的性质知
(i ,m1 ) ( ,i ) ki (i ,i ), i 1, 2, , m.
证明 设有一组数 k1, k2 , , kr使得
k11 k22 krr 0 等号两边的向量分别和1作内积
k11 k22 krr , 1 0, 1 展开得 k1 1,1 k2 2,1 kr r ,1 0
L(1, 2 , , i ) L(1,2, ,i ), i 1, 2, , n
证： 基本方法─逐个构成出满足要求的 1,2 ,
首先，可取
1

1
| 1
|1
.
,n .
证明续：
一般地，假定已求出 1,2 , ,m 是单位正交的 ，且
L(1, 2 , , i ) L(1,2 , ,i ), i 1, 2, , m (4) 当 m n 时，因为有 m1 L(1, 2 , , m ), 由(4)知 m1不能被 1,2 , ,m线性表出．
于是取
ki

( ,i ) , (i ,i )
i 1,2, ,m,
可得 (i ,m1) 0 , i 1, 2, , m.
即 1,2 , ,m ,m1 为正交向量组．
由归纳法假设知，对这 m 1 个向量构成的正交组
可扩充得正交基. 于是定理得证．
(定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基 1, 2 , , n 都可找到一组标准正交基 1,2 , ,n , 使
1 x2dx 2,
1
3
(3, 3 )
1 ( x2 1 )2 dx 8 ( 4 )2,
1
3
45 3 10
(4, 4 )
1 ( x3 3 x)2 dx 8 ( 4 )2,
1
5
175 5 14
| 1 | 2,
|
3
|
3
4 10
,
| 2 |
2, 6
|
4
|
5
4 14
.
于是得 R[ x]4的标准正交基
1

|
1
1
|
1

2 ,
2
2

|
1
2
| 2

6 x
2
3

|
1
3
| 3

10 (3x2 1) 2
4

|
1
4
| 4

14 (5x3 3x) 4
正交矩阵
若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E，则 A 为正交矩阵.
(1,2 ) 1 0.
④ n维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n.
标准正交基的定义
n 维欧氏空间中，由 n个向量构成的正交向量组 称为正交基； 由单位向量构成的正交基称为标准正交基.
注：
标准正交基举例
1. 几何空间 R3中的情况
在直角坐标系下 i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1)
1 0
i i
j j
，
i, j 1,2, ,n
（6）
由公式（3），有
(i , j ) a1i1 j a2i 2 j
aninj
1 0
i i

j j
，（7）
把A按列分块为 A A1, A2, , An
由（7）有
A1
AA


A2

有 ( ,1 )1 ( , 2 ) 2 ( , n ) n (2)
任一向量在标准正交基下的“第i个坐标”
xi
=（，
）.
i
n维欧氏空间V中标准正交基的作用
3. 标准正交基的构造 ─施密特(Schmidt)正交化过程
(定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能 扩充成一组正交基.
两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是 A (ai j )nn ,
即 (1,2 , ,n ) (1, 2 , , n ) A
或 i a1i1 a2i 2 ani n , i 1, 2, , n
由于 1,2 , ,n 是标准正交基，所以
(i , j )
49
0

0 49
E
所以A是正交矩阵.
正交矩阵的定义
设 A (aij ) Rnn , 若Ａ满足 AT A E , 则称A为正交矩阵.
6 2 3
例
验证矩阵
A

1 7

3 2
6 3
2

是正交矩阵。
6
证令
（第一列）
（第二列）
（第三列） （两两正交）
§9.2 标准正交基
一、正交向量组 二、标准正交基 三、正交矩阵
正交向量组的定义
设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1,2, ,m V ,
如果它们两两正交，则称之为正交向量组.
注意：
① 若 0, 则 是正交向量组.
② 正交组
无关组.
若向量组 1,2 , ,r 是正交向量组,且不含零向量,则 1,2 , ,r 线性无关.
1
(3, 2 )
1 x3dx 0,
1

3

3

2 3
2
1

02

x2

1 3
4

4

(4 , 1) (1 , 1 )
1

(4 , 2 ) (2,2)
2

(4 , 3 ) (3,3)
3
(4, 1)
1 x3dx 0,
1
(4, 2 )
再设
m1

|
1
m1
| m1 .
可知 1,2 , ,m ,m1 是单位正交向量组．
从(4)和(5)知 1,2 , ,m ,m1 与 1, 2 , , m , m1
因此，有 是等价向量组，
L(1, 2 , , m1 ) L(1,2 , ,m1 )
3
3

(3 (1
, ,
1 1
) )
1

( (
3 2
, ,

2 2
) )

2

(
1 , 1 , 1 ,1) 333
4

4

(4 , 1) (1 , 1 )
1

(4 , 2 ) (2,2)
2

(4 , 3 ) (3,3)
3
(1,1,1,1)
再单位化
1

|
1
1
|
1
(
1, 2
1 ,0,0) 2
2

|
1
2
|
2
(
1 , 6
1, 6
2 ,0) 6
3

|
1
3
|
3
(
1, 12
1, 12
1, 12
3) 12
4

1
| 4
| 4
(1, 1, 1,1) 2 2 22
1,2 ,3 ,4 即为所求的标准正交组．
(2,1,1,2,0), 3

1 (7,6,6,13,5). 315
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
3 (1,0,0,1) 4 (1, 1, 1,1)
变成单位正交的向量组.
正交化
解：令 1 1 (1,1,0,0)
2
2

( 2 (1
, ,
1 1
) )

1

( 1 , 1 ,1,0) 22
（单位向量）
可见A的列向量构成标准正交组，因此A是正交矩阵。
练习：判断下列矩阵是否为正交矩阵

1

1 2
1
3

A



1 2
1
1 2

1 3
1 2
1
1 8 4
B

1 9

8 4
1 4
4

7
非单位向量
（第一列和第二列不正交）
由归纳原理，定理2得证.
注：
① 由 L(1, 2 , , i ) L(1,2, ,i ), i 1, 2, , n 知，若 (1,2 , ,n ) (1, 2 , , n )T ,
则过渡矩阵 T (tij ) 是上三角形（即 tij 0, i j ） 且 tii 0, i 1, 2, , n
1,2, r是正交向量组，所以j 1时，1, j =0
k1 1,1 =0 k1 1 2 0 k1 0
同理可得k2 k3 = =kr =0
1,2 , r线性无关！
③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．