事实上，设
α=x1ε1 +x2ε2+…+xnεn.
用εi与等式两边作内积，即得 xi=(εi, α), (i=1,2, …, n).
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在标准正交基下，内积有特别简单的表达式. 设
α=x1ε1+x2ε2+…+xnεn.
β=y1ε1+y2ε2+…+ynεn. 那么
(α, β)=x1y1+x2y2+…+xnyn=XTY.
ATA=E
即得
AAT=E
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写出来就是
1 ,当 i j ;
ai1a j1 ai2a j2

aina jn


0
,当
i

j.
(7)
(5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与
行之间的关系. 这两组关系是等价的.
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例2 考虑定义在闭区间[0, 2π]上一切连续函数所作 成的欧氏空间C[0, 2π]. 函数组
k1α1+k2α2+…+kmαm=0 . 用αi (i=1,2, …, m)与等式两边作内积，即得
ki(αi , αi)=0 .
由αi ≠0 ，有(αi , αi)>0 ，从而ki=0 (i=1,2, …, m). 这 就证明了a1, a2,…,am是线性无关的. 证毕.
这个结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交 的非零向量不能超过n个.
3

(1,
1,
1,
1).
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第二步再单位化，便得到单位正交的向量组为
1


1 ,
2
1 , 0, 0, 2
2

1 , 6
1 ,
6
2 , 0, 6
3

1, 12
1, 12
1, 12
3 , 12
3


1 2
,

1 2
,
1,cos x,sin x, ,cos nx,sinnx, .
构成C[0, 2π]的一个正交组.
把上面的每一向量除以它的长度, 就得到C[0,2π] 的一个标准正交组:
1 , 1 cos x, 1 sin x, , 1 cos nx, 1 sinnx, .
2



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例3 欧氏空间Rn的基
(αi, αm+1)=(β, αi)-ki(αi, αi), (i=1,2, …, m) .
取
ki

( ,i ) (i ,i )
,(i

1,2,
, m).
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有
(αi, αm+1)=0, (i=1,2, …, m) .
由β的选择可知，αm+1≠0. 因此a1, a2,…,am,αm+1是
第二节 标准正交基
一、标准正交基
定义5 欧氏空间V的一组非零的向量，如果它们 两两正交，就称为一个正交向量组.
应该指出，按定义，由单个非零向量所成的向 量组也是正交向量组. 以下讨论的正交向量组都是 非空的.
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结论 正交向量组是线性无关的. 证明 设正交向量组 a1, a2,…,am 有一线性关系
由归纳法原理，定理2得证.
证毕.
应该指出，定理中的要求 L(ε1,ε2,…,εi)=L(η1,η2,…,ηi)，i=1,2, …,n.
就相当于由基ε1,ε2,…,εn到基η1,η2,…,ηn的过渡矩 阵是上三角形的.
定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正
交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特
（Schimidt）正交化过程.
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a1, a2,…, am , β1, β2,…,βk . 成为一组正交基.
现在来看n-m=k+1的情形. 因为m<n ，所以
一定有向量β不能被a1, a2,…,am线性表出，作向量 αm+1=β-k1α1-k2α2-…-kmαm .
这里k1, k2,…,km是待定系数. 用αi与αm+1作内积，得
一正交向量组，根据归纳法假定，a1,…,am,αm+1可
以扩充成一正交基.
证毕.
应该注意，定理的证明实际上也就给出了一 个具体的扩充正交向量组的方法. 如果从任一个 非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最 后就得到一组正交基. 再单位化，就得到一组标 准正交基.
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在求欧氏空间的正交基时，常常是已经有了 空间的一组基，对于这种情形，有下面的结果：
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这个事实的几何意义是清楚的. 例如，在平面上 找不到三个两两垂直的非零向量；在空间中，找 不到四个两两垂直的非零向量.
从解析几何中看，直角坐标系在图形度量性 质的讨论中有特殊的地位. 在欧氏空间中，情况 是相仿的.
定义6 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交 向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称 为标准正交基组.
（i）
i (0, ,0, 1 ,0, ,0） i 1,2, ,n 是Rn的一个标准正交基.
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显然
m
m1 m1 ( m1 ,i )i . i 1
ξm+1≠0，且 (ξm+1, ηi)=0，i=1,2, …,m.
令
m1

m1 | m1
|
.
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η1,η2,…,ηm,ηm+1 就是一单位正交向量组. 同时
L(ε1,ε2,…,εm+1)=L(η1,η2,…,ηm+1).

(1 2
,

1 2
, 1,
0),
3

3

(3 , 1 ) (1, 1)
1

(3 , (2,
2 ) 2 )
2

(
1 3
,
1 3
,
1 3
,
1),
4

4

(4 , 1 ) (1, 1)
1

(4 , 2 ) (2 , 2 )
2

(4 , (3,
3) 3 )
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对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基.
设ε1,ε2,…,εn是一组标准正交基，由定义，有
1 ,当 i j;
(i , j )

0,当i

j.
(1)
显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质. 换句话说
结论 一组基为标准正交基的<＝>是它的度量矩 阵为单位矩阵.
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(6)
或者
A-1=AT .
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我们引入 定义7 n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果ATA=E .
因此，以上分析表明，由标准正交基到标准正交 基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基 是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第 二组基一定也是标准正交基.
最后我们指出，根据逆矩阵的性质，由
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例1 把 1 (1,1,0,0),2 (1,0,1,0),3 (1,0,0,1),4 (1,1,1,1) 变成单位正交的向量组.
解 第一步把它们正交化，得
1 1 (1, 1, 0, 0),
2

2

(2 , 1 ) (欧氏空间中任一个正交向量组都能扩 充成一组(标准)正交基.(称为正交基扩充定理)
证明 设a1, a2,…,am是一个正交向量组，我们对 n-m作数学归纳法.
当n-m=0时，a1, a2,…,am就是一组正交基了.
假设n-m=k时定理成立，也就是说，可以找 到向量β1, β2,…,βk ，使得
j.
(4)
矩阵 A 的各列就是 η1,η2,…,ηn 在标准正交基
ε1,ε2,…,εn下的坐标. 按公式(3), (4)式可以表示为
1 ,当 i j ; a1ia1 j a2ia2 j ani anj 0 ,当 i j .
(5)
(5)式相当于一个矩阵的等式
ATA=E ，
定理2 对于n维欧氏空间中任意一组基 ε1,ε2,…,εn，
都可以找到一组标准正交基η1,η2,…,ηn，使 L(ε1,ε2,…,εi)=L(η1,η2,…,ηi)，i=1,2, …,n.
证明 设 ε1,ε2,…,εn是一组基，我们来逐个地求出
向量η1,η2,…,ηn .
首先，可取
1

|
1
1
|
1
a11 a12
(1,2 ,
,n )

(1,2 ,
,

n
)
a21 an1
a22 an2

a1n a2n ann
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因为η1,η2,…,ηn是标准正交基，所以
1 ,当 i j;
(i , j )

0
,当i

.
一般地，假定已经
求出η1,η2,…,ηm ，它们是单位正交的，具有性质
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L(ε1,ε2,…,εi)=L(η1,η2,…,ηi)，i=1,2, …,m.
下一步求ηm+1. 因为L(ε1,ε2,…,εm)=L(η1,η2,…,ηm)，所以εm+1不
能被线性表出. 按定理1证明的方法，作向量
(3)
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系