教案 正弦型函数的图像和性质
1．,,A ωϕ的物理意义
当sin()y A x ωϕ=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π
ω
=
称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ω
π
=
=
，称为振动的频率。
x ωϕ+称为相位，0x =时的相位ϕ称为初相。
2．图象的变换
例 ： 画出函数3sin(2)3
y x π
=+的简图。
解：函数的周期为22
T π
π=
=，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再左右拓展即可，先用五点法画图：
x
6
π-
12π 3π 712π 56
π 23
x π
+
0 2
π
π 32
π 2π 3sin(2)3
x π
+
3 0
3-
函数3sin(2)3
y x π
=+
的图象可看作由下面的方法得到的：
①sin y x =图象上所有点向左平移
3
π
个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把
图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3
y x π
=+的图象；③再把图象上所有点
的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3
y x π
=+的图象。
x y
O π
3
π-
6
π- 53
π
2π
sin()3
y x π
=+
sin(2)3
y x π
=+
sin y x = 3sin(2)3
y x π
=+
一般地，函数sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到：
①把正弦曲线上所有点向左（当0ϕ>时）或向右（当0ϕ<时）平行移动||ϕ个单位长度；
②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。
即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。
问题：以上步骤能否变换次序？
∵3sin(2)3sin 2()36y x x π
π=+
=+，所以，函数3sin(2)3
y x π
=+的图象还可看作
由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的
1
2
，得到函数sin 2y x =的图象；
②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6
π
个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的
图象；
③再把函数sin 2()6y x π
=+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2()
6
y x π=+的图象。
3.实际应用
例1：已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。
解：由图知：函数最大值为3，最小值为3-，
又∵0A >，∴3A =， 由图知
52632
T πππ=-= ∴2T π
πω
==，∴2ω=，
又∵157()23612
πππ+=， ∴图象上最高点为7(
,3)12
π
， ∴733sin(2)12πϕ=⨯+，即7sin()16πϕ+=，可取23
πϕ=-， 所以，函数的一个解析式为23sin(2)3
y x π
=-．
2．由已知条件求解析式 例2： 已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）
的最小值是5-， 图x 3 3
π
56
π 3
O
象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4
π
，且图象经过点5(0,)2-，求这个函数的解析
式。
解：由题意：5A =，
24T π=， ∴22T ππ
ω
==
， ∴4ω=， ∴5cos(4)y x ϕ=+，
又∵图象经过点5(0,)2-， ∴55cos 2ϕ-=， 即1
cos 2
ϕ=-，
又∵0ϕπ<<， ∴23
π
ϕ=，
所以，函数的解析式为25cos(4)3
y x π
=+．
例3：已知函数sin()y A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，||ϕπ<
）的最大值为，
最小值为，周期为23
π
，且图象过点(0,)4-，求这个函数的解析式。
解：A B A B ⎧+=⎪⎨-+=⎪
⎩22
A B ⎧=⎪⎪⇒⎨
⎪=⎪⎩，
又∵223T ππ
==
， ∴
3ω=， ∴
)22
y x ϕ=++，
又∵图象过点
(0,4
-，
∴422ϕ-=+， ∴1sin 2
ϕ=-， 又∵||ϕπ<，∴6πϕ
=-或56
π
ϕ=-，
所以，函数解析式为
sin(3)262
y x π=
-+或5)262
y x π=-+． 五、小结：
1．函数sin()y A x ωϕ=+与sin y x =的图象间的关系。
2．由已知函数图象求解析式； 3．由已知条件求解析式。
六、作业：
（1）函数sin(2)2y x π
=+
的图象可由函数sin y x =的图象经过怎样的变换得到？ （2）函数3cos(2)4
y x π
=+的图象可由函数cos y x =的图象经过怎样的变换得到？
（3）将函数sin y x =的图象上所有的点 得到sin()3
y x π=-的图象，再将
1sin()23y x π=- 的图象上的所有点 可得到函数11sin()223
y x π
=-的图
象。
（4）由函数2sin(3)2
y x π
=+
的图象怎样得到sin y x =的图象
（5）已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）的周期是23
π
，最小值是2-，且图象过点5(
,0)9
π
，求这个函数的解析式； （6）函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2
π
ϕ<
）的最小值是2-，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标的差是3π，又图象经过点(0,1)，求这个函数的解析式。
（7）如图为函数sin()y A x ωϕ=+（||2
π
ϕ<
，x R ∈）的图象中的一段，根据图象求它的
解析式。
x
y O
–
–
– –
5
1 2 1- 2- 1 3。