y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
y=sinx (xR) 职业中学 2018.3
2018年3月21日星期三
1
一.正弦函数y=sinx的图像
y 1
五点法：
2
(0,0)
-1
o
( ,1) ( 2 , 0 ) ( , 0 ) 2 x 3 3 2 2 ,1) 2( 2
y
-
sin(x+2k)=sinx, kZ 1.y=sinx x[0,2] y=sinx xR 1
-4 -3 -2
y-1
1
o


2
3
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
6
x
-4
-3
-2
-
o
-1
2
3
4
5
6
x
2
2.y=sinx (xR)
2018年3月21日星期三
二.正弦函数 y=sin x(x∈R) 的性质
2018年3月21日星期三
f（x 2k） f（x），（k Z）
是正弦函数y sin x的周期？为什么？
2
8
性质二：正弦函数 y=sinx周期性
对于一个周期函数f（x），如果在它的所有周 期中存在一个最小的正数，那么这个最小的 正数就叫做它的最小正周期。
y=sinx的最小正周期T=2π
y
1
4 3 2

3 2

2
-1
2
3
4

7 2

5 2
2
3 2
5 2
7 2
x
sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z）
f（x 2k） f（x），（k Z）
2018年3月21日星期三 7
性质二：正弦函数 y=sinx周期性
一般地，对于函数f（x），如果存在一个非
2018年3月21日星期三 11
正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象
y sin x的增区间： [

2k， 2k ] 2 2
y
1

（k Z）
4
7 2
3
2

3 2

2
2
3
4

5 2
0
-1
2
3 2
5 2
7 2
x
3 y sin x的减区间： [ 2k， 2k ] 2 2
例2、设sinx=t-3，x∈R，求t的取值范围。
1 sin x 1
2018年3月21日星期三 5
例3 求下列函数的最值，并求出相应 的x值。 （1） y=2sinx （2）y=sinx+2
（3）y=sin2x (2) x 2k k z 时y man 3，x =2k 时y min 1
性质一：正弦函数 y=sinx 定义域和值域
定义域为R 值域为[-1,1]
y
1
4
y=1（最大值）

2 3
4
3
2

3 2

7 2

5 2
2
0
-1
2
3 2
5 2
7 2
x
2kπ （k Z） x 2 x 2kπ （k Z） 2
y A sin （ω x φ ）（A 0，ω 0, x R) 2 π 的周期为T ω
2018年3月21日星期三 9
例4求下列函数的周期：
（ 1 ）y sin 3x
x （ 2）y sin 4 （ 3）y A sin （x ），（A 0， 0)
2 T 3 T 8
因此正弦函数是奇函数
2018年3月21日星期三 15
性质二：正弦函数 y=sinx的对称性（奇偶性）
y
1 -3
5 2
-2

3 2
-


2
o
-1

零常数T，使得定义域内的 每一个x值，都满
足f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做
周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
sin （x 2kπ ） sin x，x R，k 0

sin （ ） 4 sin sin等式 x的周期： ...... 、 能否说明 2、 2、 4、 6 ...... 4 2 4 正弦函数 y sin x的周期2kπ(k Z , k 0)
13
例5、求下列函数的单调区 间： （ 1 ）y 1 sin x （2）y sin 2 x
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14
f ( x) sin x
y
1
4
3
2

3 2

2
-1
2
3
4

7 2

5 2
2
3 2
5 2
7 2
x
f（ x） sin （ x） sin x f（x）
T
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2

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正弦函数的单调性
y
1
-3

5 2
-2

3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
sinx


2
…
0 0
…
2
…
0
…
3 2
-1
1
-1
y=sinx (xR)
, +2k ],kZ 其值从-1增至1 增区间为 [[ +2k ， ] 2 2 2 2 3 3 , +2k 减区间为 [[ +2k ， ] ],kZ 其值从 1减至-1 2 2 2
2018年3月21日星期三
y= -1（最小值）
3
思考：观察正弦线变化范围,并总结sinx的性质.
x

2
2kπ （k Z）
sinx最大为1
2018年3月21日星期三
3 x （ ） 2kπ （ kk Z ） 22
sinx最小为－1
4
例1、下列各等式能否成立？为什么？ （1）2sinx=3； （2）sin2x=0.5
2018年3月21日星期三

（k Z）
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性质三：正弦函数 y=sinx 的单调性
增区间： π [ 2kπ ， 2kπ ] 2 2
( ,0)

（k Z）
( ,1) 2

(0,0)
减区间： 3 π [ 2kπ ， 2kπ ] 2 2
2018年3月21日星期三

（k Z）
(2) x 2k
(2) x k
2018年3月21日星期三
2

k z 时y man 3，x =2k 时y min 1 2 2

6
2
k z 时y man 1，x =k 时y min 1 4 4
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?