卫星和飞船的跟踪测控模型摘要：本文研究的是在不同条件下建立最少的卫星或飞船的跟踪测控站，以达到对卫星或飞船实施全程跟踪测控的目的。

问题一中不考虑地球的自转，卫星或飞船的飞行轨迹就是一个固定的圆周。

依据得到的图形运用三角函数相关知识建立数学模型一，先计算一个测控站测控范围，再求出测控整个飞行轨迹所需最少的测控站的数目。

并计算得出卫星或飞船在即将脱离地球引力的情况下对其测控所需的测控站的数目至少为3，最后又以神舟七号飞船为例检验了该模型，所得此种情况下要想对其全程测控需要12个测控站。

问题二中考虑到地球自转，此时卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，并且卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，因而卫星或飞船轨道构成一个环形区域。

然后，用圆的最大内接正方形来代替圆对环形区域进行覆盖，得到一个合理的所需测控站个数的一般表达式，并带入神七相关数据得到全程测控神七时所需的测控站的个数为37个。

问题三，用与问题二中类似的方法求出测控站的测控范围在环行区域投影圆的内接正方形的边长，再依据每一个纬度或经度在地球表面的实际跨度长求出测控站所测卫星或飞船在其环绕球面上纬度和经度范围，并用上述在地面上的投影描述测控站的实测范围。

本文中，巧妙之处在于采用易操作的圆内接正方形来代替圆覆盖环形区域，此方法有一定的借鉴和推广意义。

关键词：测控站环形区域投影测控范围一问题的重述和分析1.1问题的重述卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分。

航天测控的理想状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。

测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。

在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务。

请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：问题1：在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？问题2：如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。

考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？问题3：收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。

1.2 问题的分析对于问题一，由于所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面，且不考虑地球的自转。

那么相对于地球来说，卫星或飞船的轨迹是一个以地球球心为圆周，半径为HR 的固定圆周。

只要所有测控站的测控区域将这个圆周覆盖即可达到全程测控的目的。

根据题意作出测控站分布图的局部图，然后依据正弦定理和三角函数相关知识可求出每一个测控站的测控区域所对应的圆心角。

当测控资源得到充分利用时，卫星轨道恰好经过相邻两个测控站测控区域的交线，卫星的高度越大，测控站测控区域所对的圆心角越大，则所需测控站越少。

对于问题二，需考虑地球自转的影响，而且地球的运行轨道平面与赤道平面有一个固定的夹角。

那么相对于地球来说，卫星或飞船的轨迹类似一个螺旋状线圈。

这个螺旋状的线圈在卫星或飞船所在轨道的球面上，构成一个环形区域T，此环形区域即为卫星或飞船可能出现的区域。

卫星或飞船运动到最高的纬度时，所对应的两条纬度线便是环形区域的两条边界。

我们所要做的是在地球表面分布测控站，使得所有测控站的测控区域覆盖这个环形区域。

由分析可知，每个测控站的测控区域与卫星或飞船的运行轨道所在的球面S的交面是S上的一个球冠，球冠底为一个圆，从地球上看，此圆完全覆盖球冠面，此时，问题就转换为用一系列的圆来覆盖环状区域T，但是由于用圆来覆盖区域T不易计算。

为了便于计算，所以用圆内接正方形来代替圆来覆盖整个环状区域T。

最后计算出所需的正方形的个数也就是所需的测控站的个数。

对于问题三，由于地球自转卫星或飞船环绕地球飞行时可能经过的区域在地球表面上垂直投影的位置变化是一个环形域，将环形域展开拉伸成一个矩形的区域由于每一个测控站的测控区域是一个倒置的圆锥域，圆锥域的锥底圆在地球表面上环状带的展开区域内的投影仍是一个圆，因此求出圆内接正方形的边长，再依据每一个纬度或经度在地球表面的实际跨度值，相应的求出每一个测控站测控卫星或飞船可能经过的环形区域在地球表面垂直投影上的范围。

二模型的假设和符号说明2.1 模型的假设1) 地球是一个均匀的球体,它的质量集中于地心；卫星或飞船的体积相对于地球十分微小，将卫星或飞船在环绕地球运动时看作质点。

2) 在地球与卫星或飞船之间只考虑相互之间的吸引力，其他星体的作用由于距离较远可以忽略不计。

3) 每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。

4) 只研究卫星或飞船进入预定轨道之后正常运行的跟踪测控。

5) 测控站中的测控设备在测控过程中始终能正常工作。

6) 每一个测控站测控的倒置圆锥域的锥底圆半径相等。

7) 每一个纬度和每一个经度在地球表面的实际跨度相等。

2.2 符号说明M：地球的质量。

1m：卫星或飞船的质量。

R：地球的半径，如图1.1中所示的OQ。

H：卫星或飞船正常运行时距离地球表面的高度PQ。

n：建立测控站的个数α：代表图1.1中角MPO∠。

∠。

β：代表图1.1中角POM∠。

γ：代表图1.1中角PMOr：表示升高过程中的质点到地心的距离。

L：是每一个纬度在地球表面的跨度。

1θ东经（西经）的经度数。

：1θ：北纬（南纬）的纬度数。

2三模型的建立和求解3.1 问题１：1.1.3模型一的建立由题意可知在该小题中不考虑地球自转，那么地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度的差异可不予考虑。

卫星或飞船从起飞时加速升空后经一系列加速变轨，最终的运行轨迹是一圆周。

即最终卫星或飞船绕地球做匀速圆周运动。

用卫星或飞船的运动轨迹所在的平面去切地球会得到一个圆面。

如下图1.1所示：图1.1其中实线圆代表卫星或飞船的运动轨迹所在的平面与地球相切割所得到的圆。

由题意知所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面，所以所有的测控站都应分布在该实线圆上。

虚线圆代表卫星或飞船的运行轨迹。

假设点N M ,表示两个相邻的测控站。

过点N M ,的虚线分别表示测控站所在点N M ,的切平面。

过点M 的直线AM PM ,表示在卫星或飞船运行的轨迹平面上测控站M 所能测控的边界。

若以PMA ∠的顶点M 为定点，以PMA ∠的两个边AM PM ,为边界旋转，将会得到一个类似于圆锥体的区域。

该区域就是测控站M 在宇宙空间内的测控区域，不妨将该区域记作区域Ⅰ。

从图 1.1易知O A M O P M三角形三角形≅，β=∠=∠AOM POM 。

在卫星或飞船的运动轨迹所在的平面上测控站M 的测控范围所对应的圆心角是β2=∠AOP 。

同理测控站N 在宇宙空间的测控区域也是一个类似于圆锥体的区域，不妨将该区域记作区域Ⅱ。

在卫星或飞船的运动轨迹所在的平面上测控站M 的测控范围所对应的圆心角是β2=∠AOP 。

所以可知β2是卫星或飞船穿越一个测控站的测控区域所应转过的角度。

即在与卫星或飞船的运行轨迹所对应的地球的球面上,如图1.1实线圆,相邻两个测控站连线的圆弧所对应的圆心角。

由图1.1可知：区域Ⅰ和Ⅱ在卫星或飞船的运动轨迹所在的平面上的交点是P 。

此时PQ 为卫星或飞船的最低运行高度，否则将会出现盲区，地面测控系统将不能对卫星或飞船实施全程跟踪测控。

假设此时测控站的测控设施得到了充分利用，那么可得到卫星或飞船的运行高度PQ H =。

则有：R H OP +=。

又有γ==+=∠= 93390,OMP R OM 。

利用正弦定理解三角形OPM 建立模型一：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--==+βγαβαγ2360180sin sinn RH R ………………⑴ 在三角形OPM 中，角度γ已知，地球半径R 已知。

若卫星或飞船的运行高度已知，即可求解出角度α，继而解出角度β。

以上知β2是卫星或飞船穿越一个测控站的测控区域所应转过的角度。

卫星或飞船绕地球运行一周需转过角度 360。

那么在卫星或飞船绕地球作圆周运动时，要想对其实施全程跟踪测控需要测控站的个数⎥⎦⎤⎢⎣⎡=β2360 n ,[]为向上取整。

2.1.3 n 的最小值讨论卫星或飞船的轨道是以地心为中心，半径为r 的圆周。

在地球和卫星或飞船之间只考虑相互的引力，其它星体的作用由于距离较远，可以忽略不计。

由于地球是均匀球体的假设，可以将地球的质量集中在它的中心，应用牛顿万有引力定律可得，地球对距地心r 处质量为m 的质点引力为21rm GM f =。

由于卫星的体积相对十分微小，因此将卫星或飞船看作一个质点。

由于质点在位置r 所受地心引力为21rmM Gf =，所以，质点从r 运动到dr r +引力做功微元：dr rmM Gfdr dW 21-==于是，质点从任一位置1r 升高到2r 时，引力所做的功 ⎰⎰-==212121r r r r rdr GmMdW W⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21111r r GmM 如果考虑质点从1r 升高到无限远，即+∞→2r ，则得 111r GmM W r -=所以，离地心距离为r 的质点m 所具有的引力势能为 rmM G E r 1-=而无穷远处的势能为0，其势能差为 rmM G r mM G110=⎪⎭⎫ ⎝⎛--要使质点脱离地球的引力范围，“逃逸”到引力范围之外，则质点至少需要具有和说上面数值相等的动能。

这样才能克服引力做功，消耗动能而使势能增加到0。

当它到达离地心为R 100处时，其势能的数值就只有地面处势能的1/100了，几乎可以忽略不计。

也就是说，可以近似认为即将脱离地球引力范围。

此时，H 达到的最大高度为R 99，带入上述模型中可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--==βαβα236093180sin 93sin 100n RR运用MATLAB 软件计算可知： 0099.0=α， 9901.86=β，n =3。

所以在测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，在它至少应该建立3个测控站才能对其进行全程跟踪测控。

运用MATLAB 软件计算可知：=α71.4078 ，=β15.5922 ，n =12;所以在测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立12个测控站才能对其进行全程跟踪测控。

2.3 问题2：1.2.3 模型二的建立及求解由假设知，卫星或飞船被看作一个质点绕地心做匀速圆周运动。

而在该小题中考虑到了在卫星或飞船绕地球运转时，地球本身也在自转。

所以地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度就会有一些差异。