有限元法是一种高效能、常用的求解微分方程的计算方法。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中。其基本思想是由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。基本原理是将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
第一题（20分）
变分法中的符号与微积分中的符号均表示微小变化，请问二者有何关系？如何理解在理论上有了则不需要有符号。
解答：（1）二者的关系。
d是无限小的增量，是一个微分符号，表示了一个函数的局部线性近似。对于函数，dx反应的是一个函数在x=x0附近的微小变化，也就是自变量的变化。d作为一个微分符号，dx必须与其他微分符号如同dy、dt成对出现。
有限元方法在基础沉降计算中的应用及工程实例：在连续介质中，对于一般土体可以采用非线性弹性本构模型或弹塑性本构模型，考虑复杂的边界条件、土体应力应变关系的非线性特性、土体的应力历史和水与骨架上应力的耦合效应，可以考虑土与结构的共同作用、土层的各向异性，还可以模拟现场逐级加荷，能考虑侧向变形及三维渗流对沉降的影响，并能求得任意时刻的沉降、水平位移、孔隙压力和有效应力的变化。从计算方法上来说，由于其计算参数多，且需通过三轴试验确定，程序复杂难以为一般工程设计入员接受，在实际工程中没有得到普遍应用，只能用于重要工程、重要地段的地基沉降的计算。有限元的发展趋势及方向：
以位置函数作为基本未知量，消Fra bibliotek其他未知量，其基本过程为：
将 代入得
将平衡方程代入上式，得：
弹性力学应力法的数学模型：以应力函数为基本未知量，消去其他未知量，其基本过程如下：
（1）几何方程
（2）将数学方程代入上式得
（3）平衡方程
第四题（20分）
以平面应力弹性力学问题为例说明最小位能原理（能量法－泛函极值）对问题的描述完全等价于第一题中的位移法描述（微分形式）。由于能量变分法得到的最终结果是虚位移原理，那么上述问题就变换为证明虚位移原理同原来位移法微分数学模型等价。
到目前为止，有一大批的有限元分析软件，如ANSYS，ABAQUS等。现在这些大型有限元通用软件已经可以解决比较复杂的问题了。
限元法在群桩基础中的应用：将有限元数值模拟分析方法应用于群桩工作性状的分析上，在此基础上运用ANSYS软件对群桩进行有限元数值模拟，采用三维建模，得到桩数、承台尺寸，对群桩效应的影响；不同位置的基桩的受力情况；以及桩侧摩阻力的分布性状。通过分析结果达到改进和提高群桩设计及施工的安全和经济的目的。
第三题（20分）
以平面应力弹性力学问题为例，写出其8方程数学模型。并从中导出位移解法数学模型以及应力解法数学模型。
第四题（20分）
以平面应力弹性力学问题为例说明最小位能原理（能量法－泛函极值）对问题的描述完全等价于第一题中的位移法描述（微分形式）。
第五题（20）
谈一谈有限单元法在工程上的使用（可结合具体实例）；说明有限单元法今后的发展方向（理论与软件两个层面）（20分）。
虚位移原理（最小位能原理）
由于
所以有：
由于（1）
（2）
（3）
所以
从而有：
于是
第五题（20）
谈一谈有限单元法在工程上的使用（可结合具体实例）；说明有限单元法今后的发展方向（理论与软件两个层面）（20分）。
我对有限元法的认识：1960年，Clough在求解平面弹性问题时，第一次提出了“有限单元法”的概念，从此，有限元诞生并成为一门新兴的学科。
平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
弹性力学位移法的数学模型：
有限元法作为一种求解偏微分方程的数值计算方法。它具有通用性和实用性。有限元数值计算方法有：位移有限单元法、应力有限元法和杂交有限元法。最传统的有限元法为位移有限单元法，以位移作为基本求解。对于一个力学问题的描述有两种方法：（1）微元分析法；（2）虚位移原理。弹性力学数学模型的求解问题可以等价为求解某个泛函指标的极值宗量问题。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
证明：
第三题（20分）
以平面应力弹性力学问题为例，写出其8方程数学模型。并从中导出位移解法数学模型以及应力解法数学模型。
平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数 σx、σy、τxy=τyx ，所以，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移。
弹性力学与有限单元法（报告）
姓名：尚建波学号：201314010624班级：土木F1307
第一题（20分）
变分法中的 符号与微积分中的 符号均表示微小变化，请问二者有何关系？如何理解在理论上有了 则不需要有 符号。
第二题（20分）
设 ， 不显含x，证明：当 满足固定边界条件 ， 时， 取极值的必要条件为： ， 为常数。
由于δ作用于泛函类似于d作用于函数，所以δ与d的运算规律大体上是类似的。
（2）如何理解在理论上有了 则不需要有 符号？
d是无限小的增量，只是微分符号，表示函数的局部线性近似。δ是无限小的量，是一种假想的移动量是两个函数的线性近似，比d更能表述函数的微小变化，所以我个人理解有δ的时候就不需要d。
第二题（20分）设 ， 不显含x，证明：当 满足固定边界条件 ， 时， 取极值的必要条件为： ， 为常数。
δ是无限小的量，这个符号表示变分，所谓变分是一种假想的移动量，比如我假象一条路径x(t)如果x做了一个微小改变，那么记做δx。δ(x)反应的是对某个函数在其定义域内的变化，也就是如果f(x)是一个函数，f(x)+δ(x)也是一个函数，且||δ(x)||很小。这个涉及泛函。泛函是函数的一种推广，是以函数为自变量的映射J=J[y]，该自变量不是以函数的值为自变量，而是以函数本身为自变量，比如一个函数在某个区间上的积分。同时，函数本身也可以当作特别的泛函。
试 卷 要 求
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3 本试卷页作为报告的扉页，与报告内容采用统一纸张装订；
4 不符合要求的报告按不及格处理（评阅教师具有不符合要求报告的认定权）。
解答报告