《弹性力学及有限元基础》复习思考题★1．对弹性体所做的基本假设?答：连续性假设；均匀性假设；各向同性假设；弹性假设；小变形假设； ★2．用D'Alember 原理由平衡方程推导运动微分方程?答：微元体的平衡微分方程的表达式为：311121112332122221231323333123000f x x x f x x x f x x x σσσσσσσσσ⎧∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎩ 根据D'Alember 原理，将运动物体看成是静止的，将惯性力22()utρ∂-∂当作体力加到微元体上，由上式可以直接写出弹性动力学问题的运动微分方程：231112111212323212222221232132333332123()()()u f x x x t u f x x x t uf x x x t σσσρσσσρσσσρ⎧∂∂∂∂+++=⎪∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂⎪+++=⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂⎪+++=∂∂∂∂⎪⎩ ☆3．什么是应力张量? 我们说一点的应力状态是什么涵义?答：应力张量是一点应力状态的完整描述，它有面元方向和分解方向两个方向性，共有九个分量，由于存在对称性，其独立分量只有六个。

应力张量是与坐标选择无关的不变量，但其分量与坐标有关，当已知某坐标系中的九个分量时，其他坐标系中的分量均可由应力转换公式确定。

一点的应力状态是一个具有双重方向性的物理量，其中第一个是面元的方向，用其法矢量ν表示，第二个是作用在该面元上的应力矢量方向，一般用其三个分量来表示。

4．在引出 Cauchy 应力公式时， 我们假设四面体处于平衡状态， 如不处在平衡状态则如何? 答：如果不处在平衡状态，Cauchy 应力公式仍然满足，关系式的成立与是否平衡无关。

5．在什么情况下剪应力互等定律不成立?答：无论在变形体的内部或者表面上，若存在体力偶时，剪应力互等定律不成立。

6．任意斜截面上的正应变和剪应变的意义是什么?答：应变张量的三个对角分量x ε、y ε、z ε称为正应变，分别等于坐标轴方向三个线元的单位伸长率，伸长为正，缩短为负。

应变张量的三个非对角分量xy ε、yz ε、zx ε称为剪应变，分别等于变形前沿该分量下标所示两坐标方向的、相互正交的线元在变形后的夹角减小量之半。

7．刚性位移，刚性转动，刚体位移，刚体转动有何区别?答：（1）刚性位移：物体内任意两点间无相对位移；（2）刚性转动：应变张量为0，转动张量不为0；（3）刚体位移：运动分为变形运动和刚体运动，每点都发生相同的位移就叫作刚体位移；（4）刚体转动：用刚性转动描述刚体转动。

8．协调条件的物理意义是什么?答：不开裂、不相互侵入、连续且不脱离、不重叠。

☆9．变形体和刚体本质区别是什么? 变形分析的核心是什么?答：本质区别在于刚体在运动时其上任意两点的相对距离不发生变化，仅考虑其整体位置的改变，变形体在运动时不仅要考虑其位置的改变，还要考虑物体大小及形状的改变，发生变形。

核心：分析物体任意两点距离之间的变化。

10．请说明“正应力引起正应变，剪应力引起剪应变”结论是否正确？为什么？答：不正确。

对于各向同性材料，逆弹性关系表明，正应力只引起正应变，剪应力只引起剪应变，它们是互不耦合的。

对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量都可能引起任何一个应变分量的变化。

11．各向同性弹性材料和各向异性材料本质差别？答：物理差别：各向异性表示物体的全部或部分物理、化学等性质因方向的不同而不同的特性。

各向同性是指物体的物理、化学等方面的性质不会因方向的不同而不同的特性。

数学差别：弹性模量张量在坐标旋转时，各分量不发生变化时为各向同性材料，反之则为各向异性材料。

（不考）12．各向同性材料的弹性常数应有几个？如何从广义 Hooke 定律的 81个弹性常数推导各向同性材料的常数？☆13．请写出弹性力学的全部方程，并用张量指标符号表示？答：平衡方程：,0ij j i F σ+=，几何方程：,,1()2ij j i i j e u u =+ 协调方程：,,,,0ij kl kl ij ik jl jl ik e e e e +--=，Hooke定律：2ij ij ije e σλδμ=+，1[(1)]ij ij ij e v v Eσδ=+-Θ 式中e =e ii ，应力边界S σ上的条件：以及位移边界上Su 上的条件为：以上为弹性力学的全部方程，共21个，这些方程含有的未知数是u i ，e ij 和σij 共15个。

★14．请写出应用位移法求解弹性力学问题的步骤？答：选择ui 作为基本未知数，由Cauchy 几何方程,,1()2ijj i i j e u u =+可解得ij e ，再由Hooke 定律2ij ij ij e e σλδμ=+得到ij σ，再由平衡方程,0ij j i F σ+=在一定的边界条件下求解，得出位移i u 。

Cauchy几何方程有6个，Hooke 定律有6个，平衡方程有3个，即15个方程可求得15个未知数，i u ，ij e ，ij σ。

15．请写出应用应力法求解弹性力学问题的步骤？答：选择ij σ作为基本未知数，由Hooke 定律2ijij ije e σλδμ=+可得ije ，应满足协调方程,,,,0ij kl kl ij ik jl jl ik e e e e +--=，再加上平衡方程,0ij j i F σ+=联力求解，可得ij σ，然后再由相应求得ije 利用Cauchy 几何方程,,1()2ijj i i j e u u =+积分得到i u 。

★16．请说明工程应变与理性（理论）应变的根本区别？答：理论应变的计算公式为1()2j i ij i j i ju u u u E a a a a αα∂∂∂∂=++∂∂∂∂；工程剪应变计算公式为1()2j iij i ju u e x x ∂∂=+∂∂；工程剪应变无法精确的表示应变非线性部分，而当小变形时，二者却可以近似相等。

★17．从Cauchy 应力公式推导最大剪应力：max max min 1()2τσσ=-解：从Cauchy 应力公式得到ν方向上的应力矢量T ν，将其投影到ν方向和与ν垂直的平面上，将分解成正应力()νσ和剪应力()ντ，此时将坐标轴取成应力主轴方向，应该无剪应力分量，Cauchy 应力公式简化为i i Tνσν--= （i=1，2，3）其中加上_表示不求和，故：可得到24222221111123(1)()v v v v v v v -=-=+2222222222()121223233131()()()v v v v v v v τσσσσσσ=-+-+-当适当选取v的值，如12302ννν===，可得到()121()2ντσσ=±-，从而推求得到max max min 1()2τσσ=-。

★18．请说明应用伽辽金法求解微分方程的一般步骤？答：（1）建立问题的控制微分方程L 和边界条件G ，其表达式为：0Lu f -=；0Gu g -=（2）选取试函数，其表达式为：~1Ni ii uC v ==∑，v i 为试函数；（3）将试函数代入控制微分方程中，将会出现内部残值R v 和边界残值R s ，表达式为：~0vR Lu f =-≠，~0s R G u g =-≠。

（4）消除残值，选取内部权函数W v 和边界权函数W s ，伽辽金法中的权函数就是试函数中的基函数，即：W i = v i ，（i =1，2，…N ），使得0,(1,2,3,)ivRv dv i N ==⋅⋅⋅⎰；（5）据此得到C i 后，就确定了近似解1Ni ii uC v ==∑。

19．有限元方法的实质和基本思想？答：实质：将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体，化无限自由度问题为有限自由度问题，将连续场函数的微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。

基本思想：先化整为零，后集零为整。

即把一个结构看成由若干通过节点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，后将这些单元组合起来代表原来的结构进行整体分析。

★20．请论述有限元法的分析过程？答：（1）结构物的离散将待分析的结构物从几何上用线或面划分为有限个单元，其中单元的大小和数目根据计算精度的要求和计算机容量来决定。

步骤为：①建立单元，②对单元和结点编号，③准备必需的数据信息，④建立坐标系。

（2）确定单元的位移模式将单元中任意一点的位移近似地表示成单元结点位移的函数，即位移模式或位移函数，用d 表示，写成 d=N •δe（3）单元特性分析①几何方程：应变与位移之间的关系 ε=B ·δe ②物理方程：应力与应变之间的关系 σ=DB δe =S δe ③利用虚位移或最小势能原理建立单元刚度方程e e e E K F F eδ=+（4）建立表示整个结构结点平衡的方程组 K Δ=P d +P e =P ★21．请详述先处理法与后处理法的实施过程？答：（一）先处理法：（1）划分单元，整理数据，对单元和结点进行编号，确定每个单元的局部坐标系以及整个结构的整体坐标系。

（2）计算局部坐标系中的单元刚度矩阵。

（3）确定每个单元的坐标转换矩阵，计算整体坐标系下的单元刚度矩阵。

（4）根据各单元的位移分量编号，形成单元定位数组，按照“对号入座，同号叠加”的方法，集成结构的整体刚度矩阵。

（5）计算总的结点荷载矩阵。

先将非结点荷载转换成等效结点荷载，再与对应的结点荷载叠加，形成总的结点荷载矩阵。

（6）求解结构的整体刚度方程，计算结点位移矩阵。

（7）计算各单元的杆端力。

（8）对计算结果进行整理，如果需要可计算内力图。

（二）后处理法（1）划分单元，整理数据，对单元和结点进行编号，确定每个单元的局部坐标系整个结构的整体坐标系；（2）计算局部坐标系中的单元刚度矩阵。

后根据单元坐标转换矩阵计算得出整体坐标系下的单元刚度矩阵，同时集成整体刚度矩阵；（3）计算单元的等效节点力，集成整体节点力向量；（4）处理约束条件，修改整体刚度矩阵和节点力向量；（5）求解方程组，得到整体节点位移矩阵；（6）计算各单元的杆端力；（7）对计算结果进行整理，如果需要可计算内力图。

22．请简述三节点三角形单元形函数的特点？答：（1）在单元结点上形函数的值为1或为0。

（2）在单元中的任意一点上，三个形函数之和等于1。

（不考）23．请详述虚功原理与伽辽金法的关系？24．请简述等参单元的概念及优点？答：概念：几何形状变换形函数与位移插值的形函数相同的单元。

优点：可模拟较复杂的边界条件（可能不考）25．请推导平面桁架单元（拉压杆单元）的单元刚度矩阵（局部坐标系）？答：。