3'
1200 1200
1'
1200
2'
2. 应变状态
－应变张量
应变张量
x 1 ij yx 2 1 zx 2 1 xy 2 1 xz 2 11 12 1 yz 21 22 2 31 32 z
* ij ＝
1 u i , j u j ,i 1 vi , j v j ,i dt 2 2 * ij，使 ij ij dt d ij 定义t时刻的应变率为 ＝
1 vi , j v j ,i 称为应变率张量 2 d 小变形时 ij＝d ij / dt ij ij d dt t ij dt 应变率张量增量d ij＝ ij＝ 则
oct
得到八面体上的剪应力为：
oct
结论：
1 3
1 2 2＋ 2 3 2＋ 3 1 2
oct 代表平均应力 m；
1 3 S ij S ij i 代表应力强度。 3 2 八面体剪应力在推导塑性力学的屈服准则时有用处。
oct＝
传统塑性力学
第一章 第 章 应力状态和应变状态
地下建筑与工程系
课程内容
应力状 1 应力状态 2 应变状态 3 应变率张 4 小结1. 应力状态
－应力张量
应力张量
x xy xz 11 12 ij yx y yz 21 22 zx zy z 31 32
－ π平面
L直线方程： 1 2＝ 3 代表 m ij , 其Sij 0 通过原点O作与L垂直的平面： 1＋ 2＋ 3＝0
平面上各点的平均应力为零，故平面上各
点是和应力偏量Sij 相关的。 传统塑性力学只研究与塑性变形相关的Sij，故 以后在平面上来表示塑性力学的屈服准则。
4 小结 4.
张量 偏量 张量不变量 偏量不变量
应力 应变 应变率 应变率 增量
强度 σi εi d‫غ‬ dεi
i
σij εij
sij eij ēij deij
I1, I2 ,I3 I1’, I2’,I3’
I1, I2 ,I3 J1’, J2’,J3’
‫ غ‬ij
dεij
在主状态下： I1 1＋ 2＋ 3，I 2 － 1 2＋ 2 3＋ 3 1 ，I 3 1 2 3
1. 应力状态
－Bridgeman实验
Bridgeman实验(各向均匀压缩) )-金属材料 现象：弹簧钢在1000个大气压下体积缩小2.2%，但卸 载后变形恢复。 结论：静水压力只引起体积变化，与塑性变形无关。 （特别注意：对岩土塑性力学此假设需修订）
1. 应力状态
－应力分解及应力偏量
设应力球张量(静水压力)
m
1 x y z , 3 则应力可分解为：
x xy xz ij yx y yz zx zy z x－ m xy xz m 0 － ＋ yx y m yz m zx zy z－ m m 0 记为： ij＝Sij＋ m ij




1. 应力状态
－八面体剪应力
在主应力坐标系下，作一特 殊平面，使此平面的三个外 法线v与三个主方向成相等 的夹角。v 13 , 13 , 13 每个象限一个，可以作出8 个，形成一个封闭的正八面 体，这些面上的应力称为八 面体应力。
1. 应力状态
－八面体剪应力
由 r x l 2 y m 2 z n 2 2 xy lm yz mn xz ln 由： 得八面体上的应力： 1 1 2 3 3 根据 ij n j X i 可求出斜截面上的合力F，从而可以
1. 应力状态 应力状
－π平面
取三个主应力和主方向作为 坐标系，则该空间中的任一 点对应于物体内某点的应力 状态，称该空间为应力空间。 如图中OA表示此点的应力 状态矢。
1 3
1 1 1 L , , 3 3 3
m ij ijj 2
S ij
平面
1. 应力状态
与塑性变形有关 只引起体积变化，与塑性变形无关
1. 应力状态
－应力分解及应力偏量
应力偏量Sij的主值满足三次方程： Sij ij 3 J12 J 2 J 3 0 1 其中：J1 Sii 0 , J 2 ij ij , J 3 Sij 2 称为应力偏量的三个不变量 在主状态下： J1 0，J 2 －S1S 2＋S 2 S3＋S3 S1 ，J 3 S1S 2 S3
x－ m eij yx zx 同理eij 有三个不变量J1' , J 2' , J 3'
定义 i
2 2 J 2' eij eij 3 3 称为应变强度（或等效应变、当量应变）
3 应变率张量 3.
运动时，用Vx , y , z 表示质点的速度，即 度 V＝v i i v i为速度分量 从t时刻起，经历dt，位移为u i＝v i dt 则t ~ t dt的应变为
13 23 33
主应力σ1、 σ2、 σ3满足
ij ij 3 I12 I 2 I 3 0
其中：I1 ii , I 2 1 ij ij ii jj , I 3 ij 2 称为应力张量的三个不变量
y
1 zy 2
13 23 33
与应力张量类似，可以定义 三个应变不变量I1' , I 2' , I 3'
2. 应变状态
－应变分解及应变偏量
与应力分解对应，应变可分解为：
ij＝eij＋ m ij
其中平均应变： m 1 x y z , 3 xy xz y－ m yz zy z－ m
不变量J 2也可以表达为 ij的形式： 1 2 2 2 x y 2＋ y z 2＋ x z 2 6 xy yz xz 6 主状态下： J2 J2 1 1 2 2＋ 2 3 2＋ 3 1 2 6