s ydAsin2a t yxdAsina cosa 0
sa s x cos2a t xy cosa sina s y sin2a t yx sina cosa
由tyx=txy和三角变换，得：
sa

s
x
s
2
y

s
x
s
2
y
cos2a
t
xy
sin2a
sa

s
x
s
2
y

s
x
s
2
30
30° 30°
50
20
解： s x 50 , s y 30 ,
x
t xy 20 , a 30
s
30

s
x
s
2
y

s
x
s
2
y
cos2a
t
xy
sin2a
sa ta

50 2
30

50 2
30 cos
60

20sin60
12.7(MPa )
t
30

s
x
s
2
y
sin2a
tan 2a0
2t xy s x s y
2(30)
20
3
2a0 71.6
a0 35.8
F
A
Me
F Me
t
A
s
F
A
Me
s3
s1
F
Me
s1
a0 35.8
x
s3
§7–4 二向应力状态分析——图解法
txy
sa a
sx
ta
sy tyx
t
（1）应力圆（ Stress Circle）
一个主应力不为零的应力状态。
s1
s 1
2、二向应力状态（Plane State of Stress）：
二个主应力不为零的应力状态。
s1
s 2 s 1
3、三向应力状态（ Three—Dimensional State of Sstr2ess）：
三个主应力都不为零的应力状态。
s2 s3
s1
s1
s3
s2
§7–2 二向和三向应力状态的实例 [例1]画出图中的A点的应力单元体。
F
F
dx
dx
s
s
A
[例2] 画出图中A点的应力单元体。
A
Me
Me
t t
t
t
t
t
纯剪切应力状态
[例3] 画出图中各点的应力单元体。
F1
F2
q
1
2 3 4
5
M
FS
sM
FS
t
F1
F2
q
1
2 3 4
5
1
s
2
3
4
5
t
s
s
t max
1
s
s
1
F1
F2
q
1
2 3 4
5
1
s
1
s
2
3
4
5
t
t
s
s
t max
2
t
F1
s
60

s
x
s
2
y

s
x
s
2
y
cos2a
t
xy
sin2a

74 2

724 cos 120

(29)sin120
43.6(MPa )
t
60

s
x
s
2
y
sin2a
t
xy
cos2a
724sin120 (29)cos120
46.5(MPa )
s 60° t 60°
s 60° t 60°
44.7

54.7
34.7
∴ s1 54.7MPa
s2 0 s 3 34.7MPa
tan2a0


s
2t xy x s
y


220 50 30
tan 2a0 0.5
tan 2a0 0.5 2a0 26.56
a0 13.28
a0 76.72
A
二、最大正应力和最小正应力
s
a

s
x
s
2
y

s
x
s
2
y
cos2a
t
xy
s
in2a
sa
τxy
a
sx
ta
τyx
sy
sa 是a的周期函数，周期为
二、最大正应力和最小正应力
sa

s
x
s
2
y

s
x
s
2
y
cos2a
t
xy
sin2a
t xy
sx
令:
dsa da
0,
得：（s x s
y）sin2a 2t xy cos2a 0
b
15
z 270
15
sb
[例8 ] 求圆杆表面 A点的主应力及主平面。已知：F=6.28kN，
Me=47.1N·m，d=20mm。
F
A
F
s
t
t s
t
A
s
Me
Me
Me F
T FN
A
[例8 ] 求圆杆表面 A点的主应力及主平面。已知：F=6.28kN，
Me=47.1N·m，d=20mm。
t
s3
s1
F
122.5(MPa )
a
z 270
15
t
a

FS
S
* z
Izb

200103
[ 12015 (150 88106 9

7.5)
]
b
64.6(MPa )
ta
a
sa
s max s min


s
x
s
2
y

s
（
x
s
2
y
）2 t
2 xy

150MPa 27MPa
s1 150MPa , s 2 0, s 3 27MPa
（2）应力圆的画法 ①建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）
②在坐标系内画出点A(s x，txy) 和B(sy，tyx)
§7–3 二向应力状态分析——解析法
平面应力状态: 单元体有一对平面上的应力为零。
y
tyx
sx
sy
txy sx
txy
sx tyx
sy tyx
sx txy
z sy
x
sy
一、任意斜截面上的应力
二、最大正应力和最小正应力
三、主平面和主应力
四、应力圆（莫尔圆）
一、任意斜截面上的应力
已知：sx、 s y、txy 、a
sy
切应力为零的截面。
任意一点都可以找到三个相互垂直的主平面。
sx
（2）主应力(Principal Stress ）：
sz
主面上的正应力。
主应力排列规定：按代数值大小，
s1≥s2≥s3
s3
s1
s2
A
AA
五、应力状态分类
1、单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：
A
F
s
Me
Me
解：s F 20(MPa )
A
Wt

d 3
16
t s
A
t a0
sx
t

s1
T
s3 30(MPa )
Wt
s s
max min


s
x
s
2
y

s
（
x
s
2
y
）2 t
2 xy

41.6MPa 21.6MPa
s1 41.6MPa , s 2 0, s 3 21.6MPa

s
x
s
2
y）2
t
2 a
（s
x
s
2
y）2
t
2 xy
（s a

s
x
s
2
y）2

t
2 a
（s
x
s
2
y）2
t
2 xy
与圆方程相比较： x a2 y2 R2
t
R
s
s x s y
2
R

s
（
x
s
2
y
）2 t
2 xy
此圆称为应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）
sy tyz tyx
tzx
t tzy xy
sz txz
s x
sy
A
三、为什么要研究一点处的应力状态
A
A
F Me
l
A A
p
A
A
F F
s y云纹图
s x云纹图
t xy云纹图
F F
sy云纹图
s x云纹图
F
sy
sx
sx
txy
sy
F
四、主平面、主应力： （1）主平面(Principal Plane)：