数学竞赛辅导系列专题（一）利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例新课改下的数学教学要求教师“要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教育资源为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学生的个性差异，有效地实施差异教学，使每个学生都得到发展”。
“对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能。
”纵观近几年的全国各级数学竞赛，首先是紧扣教材和竞赛大纲，许多试题虽有一定难度，但难而不怪，灵活性强，高而可攀。
其次是精心设计，题目新型。
而且注重知识的典型性和迁移性，积极引导学生实现由知识到能力的过渡。
因此，教师在教学过程中要努力帮助学生挖掘课本的教育资源，注重知识的延伸和迁移，通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段，培养学生的创新思维能力。
让学生在学与练的过程中去体味奇妙的数学、学习和领略奥妙的数学；从而提高学习数学的兴趣、勤奋地去开垦数学。
本文试图从“利用轴对称性质求最小值”问题入手，在挖掘课本教育资源、注重多题一解、培养学生知识迁移能力方面作一些尝试与探索，与数学同行们交流，抛砖引玉。
（一）、课本原型：（七年级下册第196页）如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？解：如图（2）（£，只要画出A点关于直线L的对称点C,连结BC交直线L于P,则P点就是所求。
这时PA+PB=PC+PB为最小，（因为两点之间线段最短）。
（证明：如图（2 ）②,在L上任取一点P i ,连结P i A , P i B , P i C ,因为P i A+P i B=P i C+P i B>BC=PA+PB。
这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。
）（二）应用和延伸：例i、（七年级作业本题）如图（3），/ AOB内有一点P,在0A 和0B边上分别找出M、N，使△ PMN的周长最小。
解：如图（4），只要画出P点关于OB 0A的对称点P i, P2 ,连结P i、P2交OB 0A于M N,此时△ PMN的周长PM+PN+MN i ff2为最小。
（证明略）例2、在图（i ）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是i 千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P,使PA+PB的值最小。
求这个最小值。
解：如图（i）①所示，只要过A i点画直线L的平行线与BD的延长线交于H,在Rt △ ABH中，A i H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得AB的长度为4迈千米。
即PA+PB的最小值为 4 2 千米。
AA解：如图（6）,因为菱形是轴对称图形，所以 BC 中点E 关于对角线BD 的对称点E 一定落在AB 的中点 巳，只要连结 CE , CE 即为PC+PE 的最小值。
这时三角形 CBE 是含有 300角的直角三角形，PC+PE=CE2 ...3 a 。
所以选（D ）。
2、（ 2001年全国数学竞赛题）如图（7）,在直角坐标系 XOY 中,解：如图（8）,图只要画出点 M 点即为所求。
点 M 的横坐标只要先求出经过PQ 两点的直线的解析式，（ Y=2X-（三）、迁移和拓展:例 1、9（温州2003年中考题）如图（5），在菱形ABCD 中，AB=4a,E 在 BC 上, EC=2a / BAD=120,点P 在BD 上，贝U PE+PC 的最小值是（）(A ) 6a , (B) 5a(C) 4a ,(D) 2X 轴上的动点 M （ X , 值0） 占 到定点P （ 5, 5）和到Q （2, M 的横坐标X=-1）的距离分别为 MP 和MQ 那么当 MP+MQX 最小(5,5)4 I — 3 1 — 2 I — 1i ■(2,1)-1 O-1个Y 6 | 5 L-(2,1) QP (5,5)-1 O-11 :iQ1P1B图（5） 图（6）Q 关于X 轴的对称点Q （2,PQ 交X 于点5）,令Y=0,求得X=5/2。
（也可以用勾股定理和相似三角形求出答案）。
例 3、求函数 Y= X 2 6X 10 + X 2 6X解：方法（I ）、把原函数转化为Y=...（X 3）2 1 + . （X 3）2 52 ，因此可以理解为在X 轴上找一个点，使它到点（3, 1 ）和（-3 , 5）的距离之和最小。
（解法同上一 题）。
方法（n ）,如图（9）,分别以 PM=（ 3-X ）、AM=1 为边和以 PN=（ X+3）、BN=5为边构建使（3-X ） 和（X+3）在同一直线上的两个直角△是 PA= (X 3)21 和 PB=. (X 3)252，因此，求Y 的最小值就是求 PA+PB 的最小值，只要利用轴对称性质求出（四）、思考与练习：1、（ 2002湖北黄岗竞赛题）如图（10），/ AOB=45,角内有一点 P, PO=10在角两 边上有两点 Q R （均不同于点O ），则△ PQR 勺周长最小值是 ----------------- 。
（提示：画点 P 关于OA 的对称点P ，点P 关于OB 的对称点P 2,v / AOB=45,.・.A P 1OP 是等腰直角三角 形，RP2=10I 2 ）。
又问当厶PQR 周长最小时，/ QPR 勺度数= ----------- 。
（100°）。
2、已知点 A （-2 , 1）,点B （3, 4）。
在 X 轴上求一点 P ,使得PA+PB 的值最小。
这 个最小值是 --------------- 。
（同例2）3、（北京市竞赛题）如图（11）,在矩形 ABCD 中，AB=20 cm, BC=10 cm,若在 AC AB 上各取一点 M N,使BM+MN 勺值最小，求这个最小值。
（提示：要使 BM+M 的值最小，应设法把折线 BM+MN1直，从而想到用轴对称性质来做。
画出点B 关于直线 AC 的对称点B,贝U BN 的长就是最小值；又因为 N 也是动点，所以，当 B 1N 丄AB 时这个值最小，利用勾 股定34的最小值。
PAM △ PNB 两条斜边的长就BA 的长，就是Y 的最小值。
（6运）。
图（11）B 图(12)理和三角形面积公式可以求得这个最小值为16。
初三的同学也可以用射影定理和面积公式求解。
）4、 （希望杯2001初二数学邀请赛试题），如图（12）在菱形ABCD 中，/ DAB=120, 点E 平分BC,点P 在BD 上，且PE+PC=1那么边长 AB 的最大值是--------------------- 。
（因为当2 -PE+PC 最小时，AB=CD 达到最大，这个最大值是 3 ）。
35、 （美国中学生竞赛题）如图（13），一个牧童在小河南 4英里处牧马，河水向正东 方流去，而他正位于他的小屋西 8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（）（提示：画点 A 关于小河岸的对称点A ，连结A i B 即为最短距离。
）(A ) 4+ .. 185 英里(B ) 16 英里6、（新蕾杯竞赛题）如图（14），正方形 ABCD 勺边长为3，E 在BC 上，且BE=2 P 在BD 上，求PE+PC 的最小值。
（与知识拓展例 1类似，因为点 C 和点A 关于直线BD 对 称，所以AE 是PC+PE 的最小值，这个值为.13 ）。
7 、如图（15），在河湾处 M 点有一个观察站，观察员要从 M 点出发，先到 AB 岸，再 到CD 岸然后返回 M 点，则该船应该走的最短路线是 -------------- （先画图，再用字母表 示）。
（提示：，同知识迁移题）16）, AB 是。
0的直径，AB=2 0C 是。
0的半径, OCL AB,点D 在AC 上,AD =2CD ，点P 是半径 0C 上一个动点，那么 AP+PD 的最小值是 —— ——。
（只要找出点 D 关于半径0C 的对称点Di , AD 的长就是AP+PD 的最小值。
因为△ ABD 是含有趣300角的直角三角形，所以这个值是.3 ）。
------------------ 1.1459、 求代数式 X 2 4X 13 + X 2 4X 6 的最小值。
（一V 4210、 （ 2000年湖北省选拔赛试题）在直角坐标系中，有四个点A （-8 , 3）、B （ -4 ,（C ） 17英里（D ）18英里图（14）8、（温州2001年中考题）如图（ 小河13)BE图（16 ）5）、C （0, n）、D（m,0）,当四边形ABCD的周长最短时，的值为------- - ——。
（因n为A、B是定点且长度不变，只要使其它的三条线段的和最小，所以考虑用轴对称的方法将BC CD AD这三条折线拉直。
画点A关于X轴的对称点A i,点B关于Y轴的对称点B i,只要求出直线A i B i的函数解析式就可以求出点C和点D的坐标。
）（浙江、海盐、西塘中学杨孝华）2004 、11、15.。