全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2)三角形的边角性质内容提要三角形边角性质主要的有：1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。

用式子表示如下：a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+⇔＜推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。

推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ， 五边形内角和=3×180六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 1803. 边与角的关系① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边。

② 在直角三角形中，△ABC 中∠C=Rt ∠222c b a =+⇔(勾股定理及逆定理) △ABC 中⇔⎭⎬⎫=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中⇔⎭⎬⎫=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 例题例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。

(1988年泉州市初二数学双基赛题)解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧<->>51135.1a a ∴1.5<a<5答当1.5<a<5时，三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形例2.如图A B C DAB=x ，AC=y, AD=z 若以AB 和CD 分别绕着点B 和点C 旋转，使点A 和D 重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？① x<2z , ②y<x+2z , ③y<2z 解由已知AB=x, BC=y －x, CD=z －x 要使AB ，BC ，CD 组成三角形，必须满足下列不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+-->-+->-+x y z x y x y y z x y z x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧>>+>x z y z x z y 2222∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<>222z x z x y z y 答y<x+2z 和y<2z 必须满足。

例3.已知△ABC 的三边都是正整数，a=5, b ≤a ≤c,符合条件的三角形共有几个？试写出它们的边长。

解：由已知a=5，1≤b ≤5，∵c<a+b, ∴5≤c ≤9∴符合条件的三角形共有15个，(按b,a,c 排列)它们的边长是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，458；555，556，557，558，559。

例4. 如图求角A ，B ，C ，D ，E ，F 的度数和解：四边形EFMN 的内角和=360度∠1=∠A+∠B ，∠2=∠C+∠D∠1＋∠2＋∠E ＋∠F ＝ 360度∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360度 例5.△ABC 中，∠A ≤∠B ≤∠C ，2∠C=5∠A ，求∠B 的取值范围(1989年泉州市初二数学双基赛题)解：根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=∠+∠+∠∠=∠∠≤∠≤∠ 18052C B A A C C B A 得∠C=75(180 －∠B)，∠A ＝72(180 －∠B) ∴72(180 －∠B)≤∠B ≤75(180 －∠B) ∴ 40 ≤∠B ≤75 例6.在凸四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ，∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：2求各内角的度数 解：作∠BCD 的平分线交AD 于E ， △BCE ≌△DCE （SAS ） ∴∠D ＝∠CBE △BCE ≌△BAE （SSS ） ∴∠CBE ＝∠ABE ＝∠D 设∠D ＝X 度，则2X ＋2X ＋4X ＋X ＝360 ∴X ＝40（度） 答∠DAB ＝∠ABC ＝80 ，∠B ∠D ＝160 ，∠D ＝40C1. △ABC 中，a=5,b=7,则第三边c 和第三边上的高h c 的取值范围是＿＿2. a,b,c 是△ABC 的三边长，化简22)()(c b a c b a --+-+得＿＿3. 已知△ABC 的两边长a 和b （a<b ）,则这个三角形的周长L 的取值范是＿＿＿＿＿＿＿＿＿4. 三边长是连续正整数，周长不超过100的三角形共有＿＿＿个，按边长的数字写出这些三角形＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（按由小到大的顺序排列，可用省略号）（1987年全国初中数学联赛题）5. 各边都是整数且周长小于13，符合条件的① 不等边三角形有___个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿② 等腰三角形有______个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿6.如果等腰三角形的周长为S ，那么腰长X 的适合范围是＿＿＿＿＿＿＿＿7.四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，CD ＝7，边AD 的适合范围是＿＿＿8.三角形不同顶点的三个外角中至少有___＿＿个钝角（1986年泉州市初二数学双基赛题）9.△ABC 中，a>b>c,那么∠C 的度数是范围＿＿＿＿＿＿＿＿（1987年泉州市初二数学双基赛题）10.△ABC 中，∠C 、∠B 的平分线相交于O ，∠BOC ＝120 ，则∠A ＝＿＿11.△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40 ，点D ，E ，F 分别在BC ，AC ，AB 上，CE ＝BD ，BF＝DC ，则∠EDF ＝＿＿ （1986年泉州市初二数学双基赛题）12.如图∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝＿＿＿＿＿度（1986年泉州市初二数学双基赛题）13.如图∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠H ＝＿＿度14.如图△ADE 中，∠ADE ＝140且AB ＝BC ＝CD ＝DE ，则∠A ＝＿＿15.如图∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠AED ＝＿＿＿＿度 （1988年泉州市初二数学双基赛题）（这里∠AED 是指射线EA 绕端点E 按逆时针方向旋转到ED 所成的角）16.△ABC 的AB ＝AC ＝CD ，AD ＝BD ，则∠BAC ＝＿＿＿度（1988年泉州市初二数学双基赛17.△ABC 中，∠A ＝Rt ∠，∠B ＝60 ∠B 的平分线交AC 于D ，点D 到边BC 的距离为2cm,则边AC 的长是＿＿cm (1988年泉州市初二数学双基赛题)C B AE B CDD A18.△ABC 中，AB ＝AC ，M 是AC 的中点，则BMAB 的值是（ ） （A ） 大于21（B ）大于32（C ）大于31（D ）大于43 19不等边三角形的三边长均为整数，其周长是28，且最大边与次大边的差比次大 边与最小边的差大1，则这样的三角形共有＿＿个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（1989年泉州市初二数学双基赛题）20.菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且△AEF 为等边三角形，求∠C 的度数。

初中数学竞赛辅导资料(29)概念的定义内容提要和例题1. 概念是反映事物本质属性的思维形态。

概念是用词(或符号)表现出来的。

例如：水果，人，上午，方程，直线，三角形 ，平行，相等以及符号=≌，∥，⊥等等都是概念。

2. 概念是概括事物的本质，事物的全体，事物的内在联系。

例如水果这一概念指的是桃，李，苹果，…… 这一类食物的全体，它们共同的本质属性是有丰富的营养，充足的水份，可食的植物果实，而区别于其他食物(如蔬菜)。

人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活，3. 正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。

4. 理解概念就是对名词，符号的含义的正确认识，一般包含两个方面：① 明确概念所反映的事物的共同本质属性，即概念的内涵；② 明确概念所指的一切对象的范围，即概念的外延。

例如“代数式”这一概念的内涵是：用运算符号连结数或表示数的字母的式子；概念的外延是一切具体的代数式――单项式，多项式，分式，有理式，根式，无理式。

又如“三角形”的概念内涵是三条线段首尾顺次相接的封闭图形；它的外延是不等边三角形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形，锐角三角形等一切三角形。

就是说要正确理解名词或符号所反映的“质”的特征和“量”的范围。

一般情况是，对概念下定义，以明确概念的内涵；把概念分类，可明确概念的外延。

5. 概念的定义就是用语句说明概念的含义，揭示概念的本质属性。

数学概念的基本定义方式是种属定义法。

在两个从属关系的概念中（如三角形与等腰三角形），外延宽的一个叫上位概念，也叫A种概念，（如三角形），外延窄的一个叫下位概念，也叫属概念（如等腰三角形）种属定义法可表示为：被定义的概念＝种概念＋类征（或叫属差）例如：方程＝等式＋含未知数又如：无理数＝小数＋无限不循环或无理数＝无限小数＋不循环再如等腰三角形＝三角形＋有两条边相等6.基本概念（即原始概念）是不下定义的概念，因为种属定义法，要用已定义过的上位概念来定义新概念，如果逐一追溯上去，必有最前面的概念是不下定义的概念。

如点，线，集合等都是基本概念。

不定义的基本概念一般用描述法，揭示它的本质属性。

例如：几何中的“点”是这样描述的：线与线相交于点。

点只表示位置，没有大小，不可再分。

“直线”我们用“拉紧的线”和“纸张的折痕”来描述它的“直”，再用“直线是向两方无限延伸的”以说明它的“无限长”的本质属性。

有了点和直线的概念，才能顺利地定义射线，线段，角，三角形等。

7.概念的定义也可用外延法。

即列举概念的全部外延，以揭示概念的内涵。

例如：单项式和多项式统称整式；锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形等都是外延定义法。

对同一个概念有时可用几种不同的定义法。

例如：“有理数”可定义为①有限小数和无限循环小数叫做有理数。

②整数和分数统称有理数。

前者是用上位概念“小数”加上类征“有限，无限循环”来定义下位概念的，这是种属定义法；后者是用下位概念的“整数”、“分数”来定义上位概念的，它是外延法。

8.正确的概念定义，要遵守几条规则。

①不能循环定义。

例如周角的360分之1叫做1度的角（对），360度的角叫做周角（错，这是循环定义）②定义概念的外延与被定义的概念的外延必须一致。

例如若用“无限小数叫做无理数”来定义无理数就不对了，因为“无限小数”的外延比“无理数”的外延宽。