1．（本小题满分10分）已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点作 DG x 2bx c y ax ++=知C(2，4)，BC= 4.(1)求过O 、C 、B 三点的抛物线解析式，并写出顶点坐标和对称轴；(2)经过O 、C 、B 三点的抛物线上是否存在P 点(坐标轴的距离相等.如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由. 4、 (本题12分)如图，AD(1)求证:四边形AEFD 是菱形； (2)若BE=EF=FC ，求∠BAD+∠ADC 的度数；(3)若BE=EF=FC ，设AB = m ，CD = n ，求四边形ABCD 的面积. 5、 (本题14分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线6422++-=x x y 与 x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，与y 轴交于C 点，顶点为D.过点 C 、D 的直线与x 轴交于E 点，以OE 为直径画⊙O 1，交直线CD 于P 、E 两点.(1)求E 点的坐标；(2)联结PO 1、PA.求证:BCD ∆～A PO 1∆；(3) ①以点O 2 (0，m)为圆心画⊙O 2，使得⊙O 2与⊙O 1相切，当⊙O 2经过点C 时，求实数m 的值；②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O 3，以O 3为圆心画⊙O 3，使得⊙O 3与⊙O 1、⊙O 2同时相切.直接写出满足条件的点O 3的坐标(不需写出计算过程).6．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）（第24题图）如图，EF 是平行四边形ABCD 的对角线BD 的垂直平分线，EF 与边AD 、BC 分别交于点E 、F ．（1）求证：四边形BFDE 是菱形；（2）若E 为线段AD 的中点，求证：AB ⊥BD .7．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过点（0，2）和点（3，5）． （1）求该抛物线的表达式并写出顶点坐标； （2）点P 为抛物线上一动点，如果直径为4⊙P 与y 轴相切，求点P 的坐标.8．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（25分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB =3，E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF = 90°．（1）求DE ︰DF 的值；（2）联结EF ，设点B 与点E 间的距离为x ，△DEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE 的长；若不能，请说明理由.9．（本题满分12分，每小题各如图10，已知抛物线交于点B ，且OB OA =. (1) 求c b +的值； (2) 若点C 第24题图A DE CO第25题B C D EFA(3) 在(2)的条件下，作∠OBC的角平分线，与抛物线交于点P，求点P的坐标.10．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图11，已知⊙O的半径长为1，PQ是⊙O的直径，点M是PQ延长线上一点，以点M为圆心作圆，与⊙O交于A、B两点，联结PA并延长，交⊙M于另外一点C.(1) 若AB恰好是⊙O的直径，设OM=x，AC=y，试在图12中画出符合要求的大致图形，并求y关于x的函数解析式；(2) 联结OA、MA、MC，若OA⊥MA，且△OMA与△PMC相似，求OM的长度和⊙M 的半径长；(3) 是否存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求OM的长度和⊙M的半径长；若不存在，试说明理由.图1254321OFEDCBA 1．（1）∵△ABC 是等边三DG 322++-=x x y 322++-=x x y 32,(2++-x x x D 0322=++-x x 292923)32(32132122++-=++-⨯⨯+⨯x x x x x 2929232++-x x 232=-=a b x 863)23(4)29(29)23(44422=-⨯-⨯-⨯=-a b ac )3(3322+-=++-x x x 0652=+-x x 21=x 32=x EP DE 21=EP DP 23=)3(23322+-=++-x x x 03722=+-x x 213=x 34=x 2121c bx ax y ++=2()0≠a ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=)3(4636)2(424)1(0b a c b a c ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=03831c b a x x y 38312+-=)316,4(4=x ),(a a P ),(a a P -()0≠a ),(a a P a a a =+-383120,521==a a ),(a a P -aa a -=+-383120,1121==a a )5,5(p )11,11(-p ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AO AO AODAOE 51≅⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FOE AOE EO EO 21≅mn 21AF AB 21S ABF =⋅=∆m DE 21=mn 21OD AF S AFCD =⋅=四边形mnS AFCD ABCD =+=∆四边形四边形S S ABF ()81264222+--=++-=x x x y )8,1(),6,0(D C ()0≠+=k b kx y ⎩⎨⎧+==686k b ⎩⎨⎧==62b k 62+=x y 3453OA OC AOC Rt ECP EP PC x==∴∴∠=︒∴==-Q V V 为等腰)0,3(-E 06422=++-x x 3,121=-=x x )0,3()0,1(B A -)0,0(O )0,3(-E )0,(231-O 231=r 设)62,(+t t P由231=PO 得 232223)62()(=+++t t 解得3,25121-=-=t t （舍） ∴),(56512-P 2分∴585=PA 211=AO又 5=DC 53=CB 172=DB ∴5211===PADB PO CB AO DC 1分 ∴BCD ∆～A PO 1∆ (3) ( 7分）① )0,(231-O 231=r),0(2m O 据题意，显然点2O 在点C 下方 m C O r -==622当⊙O 2与⊙O 1外切时 2121r r O O +=代入得()()m m -+=+6232223 解得 2,51821==m m （舍）2分 当⊙O 2与⊙O 1内切时 2121r r O O -=代入得()()m m --=+6232223 解得 518,221==m m （舍） 2分 ∴2,51821==m m ② ⎪⎭⎫ ⎝⎛518,03O ⎪⎭⎫ ⎝⎛-710,03O ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,233O ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,14453O ⎪⎭⎫⎝⎛1514,03O ()2,03O ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2213O 3分6、．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴ED ∥BF ，得∠EDB =∠FBD ……………………………………………………（2分）∵EF 垂直平分BD∴BO=DO ，∠DOE =∠BOF =90° ∴△DOE ≌△BOF……………………………………………………………………（2分）∴ EO=FO∴四边形BFDE是平行四边形……………………………………………………（1分）又∵EF⊥BD∴四边形BFDE是菱形……………………………………………………………（1分）（2）∵四边形BFDE是菱形∴ED=BF∵AE=ED∴AE=BF………………………………………………………………………………（2分）又∵AE∥BF∴四边形ABFE是平行四边形………………………………………………………（1分）∴AB∥EF ……………………………………………………………………………（1分）∴∠ABD=∠DOE ……………………………………………………………………（1分）∵∠DOE=90°∴∠ABD=90°即AB⊥BD……………………………………………………………………………（1分）7．解：（1）把（0，2）、（3，5）分别代入2y x bx c=++得2593cb c=⎧⎨=++⎩解得22bc=-⎧⎨=⎩……………………………………………（3分）∴抛物线的解析式为222y x x=-+………………………………………………（1分）∴抛物线的顶点为(1,1)………………………………………………………………（2分）（2）设点P到y轴的距离为d，⊙P的半径为r∵⊙P与y轴相切∴1422d r==⨯=∴点P的横坐标为2±…………………………………………………………………（2分）当2x=时，2y=∴点P的坐标为(2,2)…………………………………（2分）当2x=-时，10y=∴点P的坐标为(2,10)-………………………………（2分）∴点P的坐标为(2,2)或(2,10)-.8.解：（1）∵∠BAC= 90°∴∠B +∠C＝90°，∵AD是BC边上的高∴∠DAC+∠C=90°∴∠ B =∠DAC………………………………………………………………………（1分）又∵∠EDF= 90°∴∠BDE+∠EDA=∠ADF +∠EDA = 90°∴∠BDE =∠ADF ∴△BED ∽△AFD ……………………………………………………………………（1分）∴DE BDDF AD=…………………………………………………………………………（1分）∵3cot 4BD AB B AD AC === ∴DE ︰DF=34…………………………………………………………………………（1分）（2）由△BED ∽△AFD 得34BE BD AF AD == ∴4433AF BE x == …………………………………………………………………（1分）∵BE x = ∴3AE x =- ∵∠BAC = 90° ∴2222425(3)()6939EF x x x x =-+=-+………………………………………（1分） ∵DE ︰D F =3︰4，∠EDF =90°∴ED =35EF ，FD =45EF …………………………………………………………………（1分）∴216225y ED FD EF =⋅=∴22365432525y x x =-+ (03)x ≤≤ ………………………………………………（2分）（3）能. BE 的长为543255或.……………………………………………………………（5分）（说明：BE 的长一个正确得3分，全对得5分）9、解：（1）由题意得：点B 的坐标为),0(c ，其中0>c ，c OB = （1分） ∵OB OA =，点A 在x 轴的负半轴上，∴点A 的坐标为)0,(c - （1分） ∵点A 在抛物线c bx x y ++-=2上，∴c bc c +--=20 （1分） ∴ 1=+c b （因为0>c ） （1分）（2）∵四边形OABC 是平行四边形∴c AO BC ==，又BC ∥x 轴，点B 的坐标为),0(c∴点C 的坐标为),(c c （1分） 又点C 在抛物线上，∴c bc c c ++-=2 ∴0=-c b 或0=c （舍去） （1分） 又 由（1）知：1=+c b ∴21=b ，21=c . 抛物线的解析式为21212++-=x x y . （2分） （3）过点P 作⊥PM y 轴，⊥PN BC ，垂足分别为M 、N ∵ BP 平分CBO ∠ ∴ PN PM = （1分） 设点P 的坐标为)2121(2++-x x x ， ∴ x x x =++--)2121(212 （1分） 解得：23=x 或0=x （舍去） （1分） 所以，点P 的坐标为)21,23(- （1分） 10、（1）图画正确 （1分）过点M 作AC MN ⊥，垂足为N ∴y NC AN 21== 由题意得：AB PM ⊥， 又AB 是圆O 的直径 ∴1==OP OA ∴︒=∠45APO ， 2=PA ∴y PN 212+= （1分）在Rt △PNM 中，PMPN NPM =∠cos又x PM +=1，︒=∠45NPM∴ 22121245cos =++=︒x y∴ y 关于x 的函数解析式为22-=x y （1>x ） （2分） （2）设圆M 的半径为r因为 OA ⊥MA ，∴∠OAM=90°，12+=r OM 又△OMA 与△PMC 相似，所以△PMC 是直角三角形。