I (2020•常德）如图，已知抛物线y =ax 2过点A (-3, 1) ( 1）求抛物线的解析式；
(2）己知直线l过点A,M (f, O）且与抛物线交于另一点B,与y 轴交于点C ，求证：MC 2=M A•M B;
(3）若点P,D 分别是抛物线与直线f上的动点1以oc 为一边且顶点为0,C, P, D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标
【解答］( 1）把
点A (-3, 1）代入y 二ax 2,得到1=9α，
．．．α＝土－4’
．·．抛物线的解析式为y = -tx2·
ω设直线f阳式为y ＝时则有｛！4:+:b .解得｛：
1.
．·．直线f的解析式为y=－�气，
令x =O ，得到y =i,:.c (O , %) ,
解得（；二或（习，由｛
：�：
.r ’’且’’’’飞、:.B 如图1中，过点Ai乍AA11-x 轴于A1，过Bf 乍BB11-x 轴于B1,贝U BB1 II OC II AA1,
3
M C二
M O 二一--1...一二l M A MA1 3 3’
τ－（－3)3 .•• • BM 二
MB
1二立二＝1一一－M C M O 立3圄1c －A
一－即MC2＝λ必4•MB.
-¥2)4’’w ，，a，、、设P (3）如图2中，D的四边形是平行四边形，
p c 国2
·.· oc 为一边且顶点为0,
B C
图1图2
｛解答］(I) ._. BE平分ζABC,CE平分ζACD,：．ζE＝ζECD－ζEBD＝主〔ζACD－ζABC〕＝＋L吃包、(2）如图1，延长BC Jr J点T,
E
图l
·．·四边形FBCD内接于①0,
：.ζ三FDC＋ζFBC= 180°
又·．·ζFDE＋ζFDC= 180°’
．．．ζ乙FDE＝ζFBC
γDF平分ζ三AD E、
．＼ζ三ADF＝ζFDE
·：ζADF＝ζABF
．＼ζ乙ABF＝ζFBC
:.BE是ζA BC的平分线，
B C
图1图2
｛解答］(I) ._. BE平分ζABC,CE平分ζACD,：．ζE＝ζECD－ζEBD＝主〔ζACD－ζABC〕＝＋L吃包、(2）如图1，延长BC Jr J点T,
E
图l
·．·四边形FBCD内接于①0,
：.ζ三FDC＋ζFBC= 180°
又·．·ζFDE＋ζFDC= 180°’
．．．ζ乙FDE＝ζFBC
γDF平分ζ三AD E、
．＼ζ三ADF＝ζFDE
·：ζADF＝ζABF
．＼ζ乙ABF＝ζFBC
:.BE是ζA BC的平分线，
．·．①当AC=A E时，.,/To＝�，
:.m = 3或m= -3 （点C的纵坐标，舍去），
:.E (3，的，
②当AC二CE时，.JTo二l m+31,
:. m=-3士们o,
:.E (0, -3＋而）或（0,-3-.JTo),
③当AE=CE时，{T+i.= l m+31,
:.m = －主．
3’
:.E (0, -1),
即满足条件的点E的坐标为（O,3）、（O,-3＋而）、（O,-3 -.JTo), (O, -1);
(3）如图，存在，·：n(1, -4),
．·．将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离1使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q,此时点D的对应点就是点P,
．·．点Q的纵坐标为4,
设Q(t, 4),
将点Q的坐标代入抛物线y= x2 -2x -3中得，t2-2t -3 =4,
:.t= 1+2../2或t= 1 -2品，
:.Q (1+2币，4）或（1 -2币，4),
分别过点D,Q作x轴的垂线，垂足分别为F,G,
γ抛物线y=x2 -2x -3与x轴的右边的交点B的坐标为（3, 0），且D(1, -4),
:.FB二P G=3 -1二2
．·．点P的横坐标为（1 + 2�） -2= -1 +2../2或（1 -2../2) -2 = -1 -2../2
即P( -1+2币，0）、Q(1+2../2, 4）或P(-1-2币，。

）、Q(1 -2币，4)
y,
Q’
D
国（2020•铜仁市）如图，已知抛物线y= ax2+bx+6经过两点A ( -1，的，B(3, O), C是抛物线与y轴的交点
( 1）求抛物线的解析式；
(2）点P(m, n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设DPBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指。