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非初等函数
最常见的非初等函数是分段函数,隐函数,变限积分,幂级数等.
例 : 狄立克莱(Dirichlet)函数(非初等函数)
y
=
D(x)
=
1 0
当x为有理数 当x为无理数
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同一坐标系中幂函数的图象
y = xα (α是常数)
y
y = x2
1
y= x y= x
(1,1)
y= 1 x
o1
x
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2.指数函数的图形
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同一坐标系中指数函数的图象
y = ax (a > 0, a ≠ 1)
例 : 方程x2 + y2 = 1, x ∈[−1,1], y ∈[−1,1]在(x, y) = (−1,0)与(x, y) = (1,0)附近不能 确定一个隐函数y = f (x).
y
注 : 方程x2 + y2 = 1有参数形式表示.
o
x
x = ϕ(t) = sin t
即
y
=ψ
(t)
=
cos
t
由于[ f (x)]g(x) = eg(x)ln f (x) ,故幂指函数是初等函数.
例: x x = exln x (x > 0)
1
1 ln x
x x = e x (x > 0)
1
(1+ x2 ) x
1 ln( x2 +1)
= ex
xsin x = esin xln x (x > 0)
都是初等函数
例:
y
=
x3
3x − 7 + 2x2 +1
y = tan x + 1+ cos 2x + x3 1+ sin2 x
y = ln(x + x2 +1)
都是初等函数.

y = ln(x −1) + 1 x2 −1
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注意：形如[ f (x)]g(x)的函数( f (x), g(x)为初等函数),其中f (x) > 0, 称之为幂指函数.
1 当x > 0
y
=
sgn
x
=
0
当x = 0为非初等函数.
−1 当x < 0
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例: y = f (x) = min{3, x, x2 − 2x}
x
=
x
2
−
2x
3
x<0 0 ≤ x < 3为非初等函数. x≥3
y
2
1
− 3 − 2 −1
y = log a x
(1,0)
•
(a > 1)
y = log 1 x
a
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4.三角函数的图形 正弦函数y = sin x的图象
y = sin x
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余弦函数y = cos x的图象
y = cos x
若形式地记此隐函数为y = f (x), x ∈ I , y ∈ J , 则必有恒等式F (x, f (x)) ≡ 0, x ∈ I.
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R.
例 :由方程F (x, y) = x + 3 y = 1可确定一个定义在(−∞,+∞)内的隐 函数y = f (x).
解 :由x + 3 y = 1 ⇒ y = f (x) = (1− x)3, x ∈ R.
例 : 由方程F(x, y) = x2 + y2 − 1 = 0可确定 (1) : 一个定义在[−1,1]内的隐函数y = f(x) = 1 − x2 , (2) : 一个定义在[−1,1]内的隐函数y = f(x) = − 1 − x2 .
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反余弦函数y = arccos x，其中x ∈[−1,1], y ∈[0,π ].
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反正切函数y = arctan x，其中x ∈ R, y ∈ (− π , π ).
1.6、初等函数
一、基本初等函数
1.常数函数 : y = f (x) = k, k为任意常数 2.幂函数 : y = xα
3.指数函数 : y = ax (a > 0且a ≠ 1) y = ex
4.对数函数 : y = loga x y = ln x = loge x
5.三角函数 : sin x, cos x, tan x, cot x
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通常,由方F(x, y) = 0确定的隐函数y = f(x)是无法用x的显函数形式多 样表示出来的,即f(x)是无法用初等函数表达,它是一个非初等函数.
例 : 由方程exy + x + y = 0能确定x ∈ (0,+∞)内的隐函数y = f(x)使得 exf(x) + x + f(x) ≡ 0,x ∈ (0,+∞),但f(x)无法用x的显函数形式表示.
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隐函数的定义
如果一个函数的自变量x与因变量y之间的对应法则由一个二元方程 F(x, y) = 0
确定,则称这种形式的函数为隐函数. 若形式地记此隐函数为 y = f(x),x ∈ D( f ),则必有恒等式F(x, f(x)) ≡ 0,x ∈ D( f ).
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例 :由方程F (x, y) = x3 + (x2 +1) y − 3 = 0可确定一个定义在(−∞,+∞)内
的隐函数y = f (x).
解 :由x3
+ (x2
+1) y − 3 = 0 ⇒
y
=
f
(x)
=
3 x
− x3 2 +1
,
x
∈
e xy
解 :由exy + x + y = 0 ⇒ exy = − y − x.
f (y)
对任意x ∈ (0,+∞),则函数f ( y) = exy 与f ( y) = − y − x的图象如下 :
o
y
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有唯一交点
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−y−x
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注:并不是所有的方程都能确定一个隐函数.
注意: 不是所有分段函数都是非初等函数.
例:
x
=
x − x
x≥0 是分段函数, 但由于 x =
x2 , 故它是初等函数.
x<0
x +1 例 : f (x) = 3 − x
0≤ x ≤1 是分段函数,
1< x ≤ 2
但由于f (x) = 2 − x −1 = 2 − (x −1)2 , 故它是初等函数.
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x2 例: 分段函数f (x) =
x+2
x≤0 为非初等函数.
x>0
例 : 取整函数y = f (x) = [x] = n，n ≤ x < n +1，n = 0,±1,±2,±3, 为非初等函数.
例: 符号函数(sign function)
由隐函数的定义知 : 任何一个显函数都可以看作某一个二元方程F (x, y) = 0 确定的隐函数.
例 : y = x2 + x + 2 ⇔ F (x, y) = y − x2 − x − 2 = 0.
y = ln(x2 +1) ⇔ F (x, y) = y − ln(x2 +1) = 0. y = x3 arcsin x ⇔ F (x, y) = y − x3 arcsin x = 0.
x 1 2 3
−1
−2
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三、隐函数
显函数的定义
由自变量x的某一个解析式所表达的函数y称为显 函数,即y = f (x).
例: y = x2 + x + 2, y = ln(x2 +1), y = x3 arcsin x
均为显函数且为初等函数.
y = (1)x a
• (0,1)
y = ax (a > 1)
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3.对数函数的图形
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同一坐标系中对数函数的图象
y = loga x (a > 0, a ≠ 1)
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t ∈[0,2π ]
参数方程