高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”,则必有(A ) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. (B ) F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. (C ) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. (D ) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数 2.设函数,11)(1-=-x xe xf 则 (A ) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. (B ) x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点(C ) x=0是f(x)的第一类间断点,x=1是f(x)的第二类间断点. (D ) x=0是f(x)的第二类间断点,x=1是f(x)的第一类间断点.3.设f (x)=xx 1-,x ≠0,1,则f [)(1x f ]= ( D )A ) 1-xB ) x-11C ) X1 D ) x4.下列各式正确的是 ( C )A ) lim 0+→x )x1 +1(x=1 B ) lim 0+→x )x1+1(x=eC ) lim ∞→x )x1 1-(x=-e D ) lim ∞→x )x1 +1(x-=e5.已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ( C )。
A.1;B.∞;C.3ln ;D.3ln 2。
6.极限:=+-∞→xx x x )11(lim ( C )A.1;B.∞;C.2-e ;D.2e7.极限:∞→x lim 332xx +=( A )A.1;B.∞;C.0;D.2.8.极限:xx x 11lim 0-+→=( C ) A.0; B.∞; C21; D.2.9. 极限:)(lim 2x x x x -+∞+→=( D ) A.0; B.∞; C.2; D.21.10.极限: xx x x 2sin sin tan lim 30-→=( C ) A.0; B.∞; C.161; D.16.二. 填空题11.极限12sinlim 2+∞→x xx x = 2 . 12. lim 0→x xarctanx =_______________.13.若)(x f y =在点x 连续,则f )]()([lim 0→-0x f x f x x =______f ’(xo)_________;14. =→xxxx 5sin lim 0_________0.2__; 15. =-∞→n n n)21(lim _______e*e__________; 16. 若函数23122+--=x x x y ,则它的间断点是___________2___1_____()()x x x x f 25lg 12-+-+=17. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x x 其定义域是 全体实数 ,值域是 大于等于018. 符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是 ,值域是三个点的集合19. 无穷小量是 20. 函数)(x f y =在点x0 连续,要求函数yf (x) 满足的三个条件是三. 计算题21.求).111(lim 0xe x x x --+-→ 22.设f(e 1-x )=3x-2,求f(x)(其中x>0); 23.求lim 2 x →(3-x)25--x x ;24.求lim ∞→ x (11-+x x )x; 25.求lim x →)3(2tan sin 22x x x x + 26. 已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ,求a 的值; 27. 计算极限nnnn 1)321(lim ++∞→ 28.求它的定义域。
29. 判断下列函数是否为同一函数:⑴ f(x)=sin 2x +cos 2x g(x)=1⑵ 11)(2--=x x x f 1)(+=x x g⑶ ()21)(+=x x f 1)(+=x x g⑷ ()()21+=x x f 1)(+=x x g ⑸ y =ax 2 s =at 2 30. 已知函数 f(x)=x 2-1,求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2)31. 求 746153lim 22--+-+∞→n n n n n 32. 求 221lim n nn ++++∞→Λ33. 求 )1(lim n n n -++∞→ 34. 求 nn nn n 3232lim +-+∞→ 35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴ ⎩⎨⎧<>+=2,2,1x x x x y 2→x ⑵ ⎪⎩⎪⎨⎧><=0,310,sin x x x x y 0→x36. 31lim3+→x x 37. 93lim 23--→x x x 38. xx x 11lim--→ 39. 求当x →∞时,下列函数的极限112323+-+-=x x x x y40. 求当x →∞时,下列函数的极限11232+-+-=x x x x y 41.41. x xx 3sin lim→ 42. 20cos 1lim x xx -→43. 311lim -∞→⎪⎭⎫⎝⎛+n n n44. nn n 211lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→ 45. x x kx)11(lim +∞→ 46. xx x ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→11lim 47. ()xx kx 101lim +→48. 研究函数在指定点的连续性⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10,sin )(x x x xx f x 0=049. 指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。
11)(-=x x f ,x =1 50. 指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。
⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1)(x x xx f ,x =0 51. 指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。
⎩⎨⎧=≠=0,10,)(2x x x x f ,x =052. 证明f(x)=x 2是连续函数 53. xx x )1ln(lim+→ 54. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--→x x x x ln 11lim 21 55. 试证方程2x 3-3x 2+2x -3=0在区间[1,2]至少有一根56. xx x x 2sin sin tan lim 30-→ 57. 试证正弦函数 y = sin x 在(-∞, +∞)内连续。
58. 函数f (x ) = x =⎩⎨⎧<-≥00x x x x ,;,在点x = 0处是否连续? 59. 函数)(x f =⎩⎨⎧≠≠0001sin x x x x ,;, 是否在点0=x 连续? 60. 求极限 xa x x 1lim 0-→. 答案: 一.选择题1.A 【分析】 本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一:任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(,且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时,有)()(x F x F =-,于是)()1()(x F x F '=-⋅-',即 )()(x f x f =--,也即)()(x f x f -=-,可见f(x)为奇函数;反过来,若f(x)为奇函数,则⎰xdt t f 0)(为偶函数,从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数,可见(A)为正确选项.方法二:令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A).【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点,其分类主要考虑左右极限.【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义,因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0x f x ,所以x=0为第二类间断点;0)(lim 1=+→x f x ,1)(lim 1-=-→x f x ,所以x=1为第一类间断点,故应选(D).【评注】 应特别注意:+∞=-+→1lim 1x x x ,.1lim 1-∞=--→x xx 从而+∞=-→+11lim x xx e ,.0lim 11=-→-x xx e3 C4 A5 C6 C7 A8 C∵x →∞时,分母极限为令,不能直接用商的极限法则。
先恒等变形,将函数“有理化”: 原式 = 21111lim )11()11)(11(lim 00=++=++++-+→→x x x x x x x . (有理化法) 9 D 10 C解 原式161821lim )2()cos 1(tan lim 32030=⋅=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限,不能在代数和的情形中使用。
如上例原式0)2(lim 3=-=→x x x x .二.填空题 11. 2 12. 1 13. 014 . 515 . 2-e 16. 2,1=x 17 .),(+∞-∞ ),0[+∞ 18. ),(+∞-∞ }1,0,1{-19 . 在某一极限过程中,以0为极限的变量,称为该极限过程中的无穷小量 20 . ① 函数yf (x) 在点x0有定义;② x →x0 时极限)(lim 0x f x x →存在;③ 极限值与函数值相等,即)()(lim 00x f x f x x =→三. 计算题21 . 【分析】 ""∞-∞型未定式,一般先通分,再用罗必塔法则.【详解】 )1(1lim )111(lim 200x xx x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+=2201lim x e x x x x -→+-+ =xe x x x 221lim 0-→-+=.2322lim0=+-→x x e 22. f (x)=3lnx+1 x >0 23.e 324.e 225.6126. 3ln ; 27. 328. 解:由x +2≥0解得x ≥-2由x -1≠0解得x ≠1由5-2x >0解得x <2.5 函数的定义域为{x |2.5>x ≥-2且x ≠1}或表示为(2.5,1)∪(1,-2)29. ⑴、⑸是同一函数,因为定义域和对应法则都相同,表示变量的字母可以不同。
⑵⑶不是同一函数,因为它们的定义域不相同。
⑷不是同一函数,因为它们对应的函数值不相同,即对应法则不同。
30. 解:f(x+1)=(x+1)2-1=x 2+2x ,f(f(x))=f(x 2-1)=(x 2-1)2-1=x 4-2x 2 f(f(3)+2)=f(32-1+2)=f(10)=9931 . 解:222222n 22746153lim 746153lim 746153lim n n n n nn n n n n n n n n n n --+-=--+-=--+-+∞→+∞→+∞→ 210060031lim 71lim 46lim 1lim 1lim53lim 22=--+-=--+-=+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n nn n n n n n n32. 解:212lim 2)1(lim 21lim 2222=+=+=++++∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n Λ 33 . 解: nn n n n n n n n n ++++-+=-++∞→+∞→1)1)(1(lim )1(lim01lim 1lim 1lim111lim11lim =++=++=++=+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n n n n n n nnn n n n34 . 解:110101lim )32(lim 1lim )32(lim 1)32(1)32(lim 3232lim -=+-=+-=+-=+-+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n nnn35 . 解:⑴因为 3lim ,2lim 22==+-→→y y x x ,y y x x +-→→≠22lim lim所以 函数在指定点的极限不存在。