2
常用区间表示方法：



全体实数的集合记为R，全体自然数的集合记为N。其 它常见的实数集合表示方法如下： 闭区间：[a,b]={x| axb} 开区间：(a,b)={x| a<x<b} 半开区间：(a,b]={x| a<x b}, [a,b)={x| a x<b} 注：以上a,b均满足a、bR,且a<b,此时，这类区间称 为有限区间;又当a、b中有一个为时,称无穷区间;显 然R=(- ,+ )。 a的邻域U(x0,)： U(x0,)=(x0-, x0+)，即|x-a|< 。 a的去心邻域U0(x0,)： U0(x0,) =(x0-, x0+)\{x0}
11
定义域求法
约定：如未特别指明,函数定义域Df即为能使函数表 达式有意义的自变量一切可取(实数)值范围。 1 x 2 的定义域． 例 1： 求函数 y 2

4 x
解
1 x 2 有意义，必须有 要使 y 2 4 x 4 x 2 0 2 x 2 即 2 x 2 故 Df {x | 2 x 2 0 x 2
2
1
4－x2≥0， 解 要使函数有意义，必须使 |x |－3≠0，
得原函数的定义域为{x|－2≤x≤2}；
15
(6)y＝ ax－3(a 为常数).
课后思考题
解 要使函数有意义，必须使ax－3≥0，
3 得当 a>0 时，原函数的定义域为{x|x≥ }； a
3 ； x | x ≤ 当 a<0 时，原函数的定义域为 a
y 1 o -1 x
x sgn x x
当x0D，称f (x0)为函数在x0处的函数值。 由于通常是通过函数值f (x)的变化来研究函数f的性质 的，故习惯上也称f (x)或y是x的函数。


7
函数的两要素
定义域与对应法则.
(
x
D
对应法则f
x0 )
自变量
f ( x0 )
(

Z
y
)
因变量
判定下面各组中两函数是否相同？ f x lg x 2 g x 2 lg x 不相同
x 2}

例2:
求函数 y
5 x
x 1
2
的定义域Df ．
解：要使上式有意义，须使：x 5 且 x -1。 故： Df =(-,-1)(-1,5]
12
跟踪训练 求下列函数的定义域.
12 (1)y＝－ x ＋1； 2
解 x∈R；
(2)y＝ 2 ； x －4
解 要使函数有意义，必须使x2－4≠0， 得原函数的定义域为{x|x∈R且x≠±2}；
当a＝0时，ax－3≥0的解集为∅，不符合函数的定义， 故不是函数.
16
分段函数求定义域示例
1 0 x 1 , 求f (0)、f (2)，函数 f ( x)的定义域. 例3 设f ( x) 2 1 x 2
解
f(x)的定义域为：[0, 2]
17
几个特殊函数：符号函数
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
9
分段函数


分段函数：用公式表示函数时，有时需要在定 义域得不同范围内分别用不同的解析式来表示 该函数完整的对应规则。 注意：分段函数是一个函数,而不是几个函数！
例：
y
2
2 x 0 x 1 f x x 1 1 x
O
1
x
10
分段函数应用

1、个人收入所得税 2、出租车计费
x－2
13
(3)y＝ ； x＋|x |
解 要使函数有意义，必须使x＋|x|≠0， 得原函数的定义域为{x|x>0}；
1
(4)y＝ x－1＋ 4－x＋2；
x－1≥0， 解 要使函数有意义，必须使 4－x≥0，
得原函数的定义域为{x|1≤x≤4}；
14
(5)y＝ 4－x ＋ ； |x|－3
第1章 函数、极限、连续 §1.1 函数的概念
§1.1.1 常量与变量 §1.1.2 函数的定义 §1.1.3 函数的特殊性质 §1.1.4基本初等函数 §1.1.5复合函数与初等函数
1
§1.1.1 常量与变量



微积分是研究函数变化规律的学科，故我们先关注 一下研究过程中的常量与变量。 常量:在研究过程中始终保持不变的量 变量:在研究过程中发生变化即可以取不同的量 例如:密闭容器内的气体加热,气体的体积和气体的分 子个数保持一定,是常量;气体的温度和压力是变量. 常量与变量是相对而言的，并非确定不变的。 所谓函数关系是指几个变量之间的某种确定的特殊 联系方式。
T
Pt0 , T0
1 2 引例2 自由落体运动 S gt 2
引例3 气温 T 与时间 t 的关系 引例4 销售量 q 与月份 t 的关系
月份
O
12
t
t
1
2
3
4
5
6
销售量
q 100
105
110
115
111
120
6
函数的概念

定义 设x和y是两个变量, D是一个给定的非空实数集， 若对于每个数xD,变量y按照一定对应法则f, 总有唯 一确定的数值和它对应，则称y为x的一元函数，记作 y=f (x) 。称x为自变量，y为因变量，称D是函数f 的定 义域，因变量y 的取值范围称为函数的值域。
3
区间、邻域示意图
闭区间[a,b] 无穷区间(a,+)
o
a
开区间(a,b)
b x
o
a
无穷区间(-,b)
x
o
a
b
x
o
去心邻域
b
x
邻域

a

a
a x

a

a
a x
4
§1.1.2 函数的定义
◎一.函数概念及其表示 ◎二.分段函数 ◎三. 定义域的求法
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函数关系引例
引例1 圆面积
A r 2
f x 3 x 4 x3
f x x 3 x 1
相 相
同 同
8
y 1 cos2 x
u sin 2
函数的表示法


常用的函数表示法主要有三种： 公式法(引例1、2)，图示法(引例3)，表格 法(引例4)。 各种表示法各有其特点： 图示法使函数的变化表现得较直观，表格法 (如各种函数表、经济统计报表)便于求函数值， 而公式法便于运算和分析，故在学习研究数学 理论上用得最多。它们各有优缺点，应根据需 要结合使用。