开放探索题：探索规律
一、列式探索型
【例1】如上图所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图，则第n 个图形中需用黑色瓷砖_______________块
导：第一个图案有12=3×4=（1+2）×4，
第二个图案有 16=4×4=（2+2）×4，
第三个图案有 20=5×4=（3+2）×4，
第n个图案有（n+2）×4=4n+8。

【例2】上图是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n层，第n层的小正方体的个数为s．则s= ．
导：至上而下第一层为1，
第二层为1+2，
第三层为1+2+3
第n层为1+2+3+……+n=n(n+1)/2. 【练1】某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图1；第2次把第1次铺
的完全围起来，如图2；第3次把第2次铺的完全围起来，如图3；…依此方法，第n次铺完后，
用字母n表示第n次镶嵌所使用的木块块数为 . （n为正整数）
二、模仿探索型
析：根据图形得到一列数2、10、18、26…，第2个数=2+（2-1）×8,第3个数=2+（3-1）×8, 第
4个数=2+（4-1）×8, 第n个数=2+（n-1）×8=8n-6.
【练2】下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，
第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个
数为( )
析：第1个五角星个数为2=2 ×12
第2个五角星个数为8=2 ×22
第3个五角星个数为18=2×32
第n个五角星个数为2×n2.，选择D.
二、模仿探索型
图 1 图 2 图 3
【例3】观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：①1＝12；②1＋3＝22；③1＋3＋5＝32；……通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式_____________
导：1+3+5+7+…+2n-1=n2
【例4】观察下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1，9×1＋2＝11，9×2＋3＝21，9×3＋4＝31，9×4＋5＝41，…：第n个等式为_______________.
导：9（n-1）+n=10n-9
【练1】．求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S ﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（）
A．52012﹣1 B．52013﹣1 C ．D ．
析：依次类推，选择C.
三、运动探索型
【例5】如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2 006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006＝_______________．
导：从p到p4要翻转4次，横坐标刚好加4,2006÷4=501…2,501×4-1=2003，由于还要再翻两次，即从p到p2，横坐标加3，则p2006 =2006. 【练1】在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是，（-1，-1），（-3，-1），把三角形ABC 经过连续9次这样的变换得到三角形A’B’C’，则点A的对应点A’的坐标是
析：第1次变换后的点A对应坐标(-2+2，1+)即(0，1+)；
第2次变换后的点A对应坐标(0+2，-1-)即(2，-1-)；
第3次变换后的点A对应坐标(2+2，1+)即(4，1+)；
第n次变换后的点A对应坐标为：当n为奇数时为(2n-2，1+)；当n为偶数时(2n-2，-1-)；故答案为(16，1+).
四、利用几何关系探索
【例6】如下图，A1A2B是直角三角形，且A1A2＝A2B＝a，A2A3⊥A1B，垂足为A3，A3A4⊥A2B，垂足为A4，A4A5⊥A3B，垂足为A5，……，A n＋1A n＋2⊥A n B，垂足为A n＋2，则线段A n+1A n+2(n为自然数)的长为（）．A2
A1 A3
A4
A6
A5 B
-3
-2
-1
-1
-2
-3
A
C B
导：通过计算，可以发现A 2A 3 = ，A 3A 4 =，A n+1A n+2 =。

【练1】 在平面直角坐标系xOy 中，点1A ，2A ，3A ，…和1B ，2B ，3B ，…分别在直线
和x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…都是等腰直角三角形，如果A 1（1，1），A 2（23,27），那么
点n A 的纵坐标是_ _____．
析：利用直线解析式，利用三角函数计算发现，A 1 纵坐标为1=0
，A 2纵坐标为3/2=
1
，A 3
纵坐标为9/4= 2
，A n 纵坐标为=
n-1
.
五、数形结合探索
【例8】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为 ．
导：右下角横坐标为1，共有12
个点；右下角横坐标为2，共有22
个点；右下角横坐标为3，共有32
个点；右下角横坐标为n ，共有n 2
个点；又因为452
=2025，即第2025个点的坐标为（45,0）。

根据题中规律知：当n 为奇数时，最后点以（n ，0）结束；当
n 为偶数时，最后点以（1，n-1）结束.因为n=45是奇数，所以第2012个点坐标为（45,13）.
【练1】如图，在直角坐标系中，以原点O 为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y=x 和y=﹣x 分别交于A 1，A 2，A 3，A 4…，则点A 30的坐标是（ ）
A ．（30，30）
B ．（﹣8，8）
C ．（﹣4，4）
D ．（4，﹣4）
析：如图：因为30÷4=7…2，A 30在直线y=-x 上且在第二象限，即∠AOB=45°，OA 30=OA=8,sin45°=AB/OA,cos45°=OB/OA,解得AB=
,OB=又因为A 30在第二象限，所以A 30的坐标是（-,
）
y
x
y=kx+b
O
B 3
B 2
B 1
A 3
A 2
A 1
y
P 1
A
O x
P ,
六、历年中考探索题
【1】如图，图①，图②，图③，……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第n 个“山”字中的棋子个数是 ．
【2】如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点
1232008P P P P ，，，，的位置，则点2008P 的横坐标为 ．
【3】（2017•荆州）观察图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 个点。

【4】（2016.荆州）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n 个图案中有2017个白色纸片，则n 的值为（ ）。

A ．671
B ．672
C ．673
D ．674
．
【5】将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样的方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中的一个三角形按同样的方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是 （ ）
……
图① 图② 图③ 图④。